Otwórz menu główne

Wnętrze (matematyka)

pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem
Punkt jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru oznaczamy lub Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

WłasnościEdytuj

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

  1. Wnętrze zbioru   jest otwartym podzbiorem  
  2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów  
  3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w  
  4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
  5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu:  
  6. Jeżeli   jest podzbiorem   to   jest podzbiorem  
  7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów:  
  8. Jeżeli   jest zbiorem otwartym, to   jest podzbiorem   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest podzbiorem  

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt   zbioru   jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie   całkowicie zawarta w zbiorze  

Pozostałe własnościEdytuj

  1.   dla dowolnych zbiorów  
  2.   dla dowolnej rodziny zbiorów  
  3. Dla każdego   mamy
     
  4.  
    przykład:
     

Operacja wnętrza a topologiaEdytuj

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek   gdzie   oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze  [1].

PrzykładyEdytuj

  • W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
  • W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
  • Niech   oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
    • wnętrzem przedziału domkniętego   jest przedział otwarty  
    • wnętrzem przedziału   jest przedział  
    • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
    • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.