Działanie algebraiczne
Działanie algebraiczne (operacja algebraiczna) – przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów (nazywanych argumentami lub operandami) jednego elementu (nazywanego wynikiem).
Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry, zdania logiczne, funkcje itp.
Do podstawowych działań algebraicznych należą tradycyjne działania arytmetyczne (tj. działania na liczbach)[1], jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, pierwiastkowanie. Działania te – odpowiednio zdefiniowane – mogą być wykonane także na macierzach, wyrażeniach algebraicznych[2], czy na innych elementach struktury algebraicznej, jak grupy czy pola[3]. Działaniem algebraicznym jest też obliczanie iloczynu skalarnego, obliczanie potęgi całkowitej i wymiernej.
Działaniem algebraicznym nie jest zaś np. obliczanie pochodnej funkcji.
Ze względu na liczbę argumentów wyróżnia się:
- działania zeroargumentowe – mają zero argumentów,
- działania jednoargumentowe (unarne),
- działania dwuargumentowe (binarne).
Dziedziną działania jest iloczyn kartezjański zbiorów, z których bierze się argumenty.
Przeciwdziedziną działania jest zbiór, w którym znajdują się wyniki działania.
Działanie z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
Dany zbiór z określonymi na nim działaniami algebraicznymi nazywa się algebrą ogólną (krótko: algebrą). Działania zdefiniowane na tym zbiorze nazywa się „sygnaturą”. Badaniem działań w najogólniejszym sensie zajmuje się algebra uniwersalna.
Definicja działania
edytuj(1) Definicja: Działanie to funkcja postaci
(2) Zbiór nazywa się dziedziną działania.
(3) Zbiór nazywa się przeciwdziedziną działania.
(4) Liczbę argumentów nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania:
- działanie jednoargumentowe ma argumentowość / arność równą
- działanie dwuargumentowe ma argumentowość / arność
- działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny
- działanie o arności nazywa się działaniem -arnym lub -argumentowym.
Np. dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych to działanie 2-argumentowe, której dziedziną jest iloczyn kartezjański tj.
Uwaga:
Powyższa definicja działania obejmuje tzw. działania skończone, tzn. odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.
Typy argumentów / wyników działań
edytujArgumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry itp. W zależności od rodzaju argumentów i wyników można zdefiniować różne działania, np.
- działania na liczbach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie)
- działania na wektorach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie skalarne wektorów, mnożenie wektorowe, mnożenie wektora przez skalar)
- działania na zbiorach:
- działania jednoargumentowe, np. znajdowanie dopełnienia zbioru
- działania dwuargumentowe, np. tworzenie sumy i iloczynu zbiorów
- działania na zdaniach logicznych:
- jednoargumentowe: negacja („nie”)
- dwuargumentowe: koniunkcja („i”), alternatywa („lub”), implikacja, równoważność
- działania na macierzach:
- działania wewnętrzne (wynikiem działania jest macierz)
- dodawanie macierzy
- mnożenie macierzy
- mnożenie przez skalar
- podnoszenie do potęgi
- znajdowanie macierzy odwrotnej
- znajdowanie eksponenty macierzy
- działania zewnętrzne (wynikiem działania jest skalar)
- znajdowanie śladu macierzy
- znajdowanie wyznacznika macierzy
- działania wewnętrzne (wynikiem działania jest macierz)
- działania na funkcjach:
- przyporządkowanie funkcji liczby (funkcjonał), np. całka oznaczona
- dodawanie funkcji
- mnożenie funkcji
- składanie funkcji, splot funkcji
– w wyniku ostatnich 3 działań otrzymuje się inną funkcję.
Np. za pomocą mnożenia macierzy opisujących obroty otrzymuje się macierz odpowiadającą jakiemuś innemu obrotowi
Działanie jako operator i relacja
edytuj(1) Działanie jest rodzajem operatora. Można mówić „operator dodawania” – wyrażenie to podkreśla, iż działanie jest pewną operacją abstrakcyjną, funkcją,
(2) Działanie -argumentowe jest -argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych dziedzinach.
Własności działań
edytujDziałania mogą przejawiać pewne szczególne własności, np.
Im więcej własności mają działania w danym zbiorze, tym zbiór tworzy bardziej subtelną strukturę algebraiczną.
Działania wewnętrzne i zewnętrzne
edytuj(1) Działanie wewnętrzne – funkcja, która przyporządkowuje n elementom danego zbioru jeden element tego zbioru; dziedziną jest iloczyn kartezjański jednej lub większej liczby egzemplarzy przeciwdziedziny[4]; mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie.
(2) Działanie zewnętrzne – funkcja, które przyporządkowują n elementom danego zbioru jeden element innego zbioru (zob. Przykłady).
Symbole działań
edytujZnak mnożenia
edytujKiedy nie ma operatora pomiędzy zmiennymi lub wyrażeniami, albo kiedy występuje znak „ ”, implikowany jest symbol mnożenia.
Np. pisane jest jako a jako [5].
Czasami symbole mnożenia zastępowane są przez kropkę, więc pisane jest jako
W nieformatowanych dokumentach, językach programowania i kalkulatorach do definiowania mnożenia używa się symbolu pojedynczej gwiazdki, na przykład działanie pisane jest jako [6].
Znak dzielenia
edytujW działaniach dzielenia zamiast znaku dzielenia „ ”, korzysta się z poziomej linii, na przykład
W tekstach nieformatowanych oraz w językach programowania używa się ukośnika, np.
Znak potęgi
edytujWykładniki potęg zapisywane są w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, np.
W tekstach nieformatowanych i w języku znaczników TeX symbolem karety ^ oznacza się wykładniki potęg, dlatego pisane jest jako x^2[7][8].
W językach programowania takich jak Ada[9], Fortran[10], Perl[11], Python[12] i Ruby[13] używa się podwójnej gwiazdki, więc zapisuje się jako
Znak plus-minus
edytujZnak plus-minus, używa się jako skrótu do zapisywania dwóch wyrażeń za pomocą jednego, określając jedno wyrażenie ze znakiem dodawania, a drugie ze znakiem odejmowania. Przykładowo przedstawia dwa równania oraz Czasami plus-minus wykorzystywany jest do zapisu dodatniego lub ujemnego wyrażenia tak jak
Przykłady
edytujDziałania zeroargumentowe
edytujElement neutralny działania (o ile istnieje) jest działaniem zeroargumentowym.
Np.
- zero względem dodawania dla
- jedynka względem mnożenia dla
- dodatnich liczb naturalnych (półgrupa),
- liczb całkowitych (pierścień z jedynką),
- wymiernych, rzeczywistych, zespolonych (ciała),
- w kwaternionach (pierścień z dzieleniem),
- wektor zerowy (dla dodawania) w przypadku przestrzeni liniowych czy algebr liniowych
Działania jednoargumentowe
edytujZa działania jednoargumentowe można uważać funkcje ustalonego zbioru w siebie, np. silnię, funkcje trygonometryczne, funkcję wykładniczą (o ustalonej podstawie), potęgowanie (przy ustalonym wykładniku) i pierwiastkowanie (ustalonego stopnia).
Działania dwuargumentowe
edytujElement odwrotny względem działania dwuargumentowego w dowolnej strukturze algebraicznej (o ile istnieje) jest działaniem jednoargumentowym.
Np. w dowolnej grupie (w tym dodawania w pierścieniach, ciałach, przestrzeniach liniowych czy mnożenia w ciałach; zob. grupa addytywna, grupa multiplikatywna).
Działania dwuargumentowe są zasadniczym przedmiotem badań algebry uniwersalnej; strukturę złożoną ze zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego nazywa się grupoidem. Nałożenie dodatkowych warunków na działanie daje inne struktury.
Zbiory z jednym działaniem
edytuj- półgrupa – grupoid z działaniem łącznym[14],
- półgrupa z działaniem zeroargumentowym (element neutralny) – monoid,
- monoid z działaniem jednoargumentowym odwracania elementu nazywa się grupą,
czyli grupa to zbiór z trzema działaniami: dwu-, jedno- i zeroargumentowym (grupowe, odwracanie i element neutralny).
Grupę można także określić jako zbiór z jednym działaniem dwuargumentowym (odwrotność powyższego działania grupowego, w notacji multiplikatywnej nazywane jest „dzieleniem”, a w addytywnej – „odejmowaniem”)[15].
Grupę można również scharakteryzować jako zbiór z rodziną działań jednoargumentowych: mnożeń lewostronnych każdego elementu przez dowolny inny.
Zbiory z dwoma działaniami
edytujBada się również zbiory z dwoma działaniami, zwykle związanymi ze sobą warunkiem rozdzielności. Np. pierścień to zbiór
- z dwoma działaniami dwuargumentowymi (łączne i przemienne dodawanie oraz łączne mnożenie – rozdzielne względem siebie),
- jednym jednoargumentowym (branie elementu przeciwnego),
- jednym zeroargumentowym (zero – element neutralny dodawania)[16],
- dodając działanie zeroargumentowe w postaci elementu neutralnego mnożenia (jedynka) otrzymuje się pierścień z jedynką,
- żądając przemienności mnożenia uzyskuje się pierścień przemienny,
- pierścień z jedynką, w którym określono działanie odwracania elementu nazywa się pierścieniem z dzieleniem,
- jeżeli mnożenie jest przemienne, to taki pierścień nazywa się ciałem.
Innymi słowy: zbiór ze strukturą grupy przemiennej i ten sam zbiór bez wyróżnionego elementu (zera) ze strukturą półgrupy, których działania są względem siebie rozdzielne tworzy pierścień. Zastąpienie półgrupy monoidem, grupą albo grupą przemienną daje odpowiednio pierścień z jedynką, pierścień z dzieleniem oraz ciało.
Zbiory z trzema działaniami
edytujPrzykładem działania trójargumentowego jest iloczyn mieszany określony na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej w tę przestrzeń[17], w której określone są działania:
- iloczyn skalarny (przemienny, w dowolnym wymiarze)
- iloczyn wektorowy (antyprzemienny, tylko w trzecim wymiarze[18]).
- powyższe dwa działania służą zdefiniowaniu iloczynu mieszanego
Działania zewnętrzne
edytujDziałania zewnętrzne to np.
- funkcje zbioru w inny (działania jednoargumentowe),
- mnożenie przez skalar w algebrach liniowych, przestrzeniach liniowych czy modułach (grupy przemienne ze wspomnianym działaniem, rozdzielnym względem działania grupowego) czy ogólniej: działanie grupy na zbiorze.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Działanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
- ↑ William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, „Algebraic Operations”.
- ↑ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7.
- ↑ Zob. np. rozdz. II, def. 1.1, w: S.N. Burris i H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, 1981.
- ↑ Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Panpac Education Pte Ltd, s. 68, ISBN 978-981-273-882-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ William P. Berlinghoff , Fernando Q. Gouvêa , Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Mathematical Association of America, 2004, s. 75, ISBN 978-0-88385-736-6 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ Ramesh Bangia , Dictionary of Information Technology, Laxmi Publications, Ltd., 2010, s. 212, ISBN 978-93-80298-15-3 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ George Grätzer , First Steps in LaTeX, Springer Science & Business Media, 1 października 1999, s. 17, ISBN 978-0-8176-4132-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ S. Tucker Taft , Ada 2005 Reference Manual. Language and Standard Libraries: International Standard ISO/IEC 8652/1995(E) with Technical Corrigendum 1 and Amendment 1, Springer Science & Business Media, 22 grudnia 2006, s. 13, ISBN 978-3-540-69335-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ C. Xavier , Fortran 77 and Numerical Methods, New Age International, 1994, s. 20, ISBN 978-81-224-0670-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ Randal L. Schwartz , y, Tom Phoenix , Learning Perl, O’Reilly Media, Inc., 16 czerwca 2011, s. 24, ISBN 978-1-4493-1314-2 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ Matthew A. Telles , Python Power!: The Comprehensive Guide, Course Technology PTR, 2008, s. 46, ISBN 978-1-59863-158-6 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ Kevin C. Baird , Ruby by Example: Concepts and Code, No Starch Press, 2007, s. 72, ISBN 978-1-59327-148-0 [dostęp 2015-12-20] (ang.).
- ↑ Kurosz 1974 ↓, s. 20–25.
- ↑ Kurosz 1974 ↓, s. 17–19.
- ↑ Kurosz 1974 ↓, s. 56.
- ↑ Aleksiej Pogoriełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983, s. 72–73. (ros.).
- ↑ Istnieje bezpośrednie uogólnienie na przestrzeń siedmiowymiarową (tzw. uogólniony iloczyn wektorowy) i nieco ogólniejsze na przestrzenie dowolnego wymiaru (tzw. iloczyn zewnętrzny).
Bibliografia
edytuj- A.G. Kurosz: Obszczaja algebra: lekcii 1969–1970 uczebnogo goda. Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1974, s. 11. (ros.).