Otwórz menu główne

Kwaterniony (daw. czwarki Hamiltona[a][1]) – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

KonstrukcjeEdytuj

Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.

Kwaterniony jako macierze zespoloneEdytuj

Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni   postaci

 

gdzie  

Podstawowe własności:

  • suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;
 
  • podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem:
 
  • dla kwaternionu   istnieje kwaternion odwrotny do   zadany wzorem:
 
  • Macierz jednostkowa i zerowa
 
są oczywiście kwaternionami
  • należy zauważyć, że np.
 
czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.

Kwaternion jako suma algebraicznaEdytuj

Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać:

  gdzie   zaś   są symbolami pewnych obiektów.

Dodawanie i mnożenie na tych sumach wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych   przy czym mnożenie „zmiennych”   z uwzględnieniem ich kolejności określa poniższa tabelka:

tabelka mnożenia
× e i j k
e e i j k
i i –e k j
j j k –e i
k k j i –e

  nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu  

Izomorficzność tej konstrukcji z poprzednią macierzową wynika z zależności:

 

I wystarczy przyjąć oznaczenia:

 

Kwaternion jako para liczb zespolonych.Edytuj

W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych:   gdzie   W tym zbiorze definiuje się działania:

  • dodawanie
 
  • mnożenie
 

Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.

Kwaternion jako macierz rzeczywistaEdytuj

Innym sposobem zapisu macierzowego jest[2]

  dla  

Własności algebraiczne kwaternionówEdytuj

Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych  

  • dodawanie kwaternionów jest łączne i przemienne, czyli   oraz  
  • mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli   ale nie jest przemienne (np.  )
  • zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
    •  
    •  
  • każdy niezerowy element ma odwrotny do siebie.

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc grupę abelową. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową. Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności  

Niektóre podstrukturyEdytuj

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciała:

  • kwaterniony postaci   można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,
  • następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
    •  
    •  
    •  

Grupa kwaternionówEdytuj

Osobny artykuł: Grupa kwaternionów.

Zbiór   z mnożeniem tworzy grupę zwaną grupą kwaternionów i oznaczaną symbolem   (od liczby elementów).

SprzężenieEdytuj

Sprzężenie w kwaternionach jest funkcją określoną następująco:

dla postaci macierzowej:

 

dla postaci algebraicznej:

 

dla postaci par liczb zespolonych:

 

Własności sprzężenia

  •  
  •  
  •  

Wyznacznik i modułEdytuj

Wyznacznik kwaternionu   definiuje wzór:

dla postaci macierzowej:

 

dla postaci algebraicznej:

 

dla par liczb zespolonych:

 

Oczywiście dla  

 

Moduł jest to pierwiastek z wyznacznika:

 

Własności modułu kwaternionów:

  •  
  •  
  •  
  •   (nierówność trójkąta),

PrzykładyEdytuj

Niech

 
 

Wtedy

 
 

Geometryczna interpretacja mnożeniaEdytuj

Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej   W tej postaci   zaś   jest wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako:   a dwóch kwaternionów – jako:  

We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

Obroty przestrzeni trójwymiarowejEdytuj

Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową   w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów   przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi   obrót   według wzoru:

 

Wówczas:

  • przekształcenie   jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
  • przekształcenie   definiuje podwójne nakrycie grupy   przez sferę  
  • jeśli wyrazimy kwaternion   w postaci wykładniczej   wtedy   jest obrotem wokół osi   kąt  

ZastosowaniaEdytuj

Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX[3]. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D. Części urojone kwaternionu służą do zdefiniowania płaszczyzny obrotu (opisują wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu), część rzeczywista do określenia kąta obrotu. Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące interpolacji SLERP i LERP.

Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji równań różniczkowych, m.in. w mechanice niebieskiej – obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji wiązek wektorowych w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych).

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (stożkowe jako rozmaitości Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej algebry Clifforda, która jest albo algebrą macierzy nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo iloczynem kartezjańskim dwóch takich algebr (macierzy).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Nazwa ta użyta została m.in. w tytule wykładu Władysława Kretkowskiego „Teorya czwarków Wiliama Hamiltona wraz z niektóremi zastosowaniami do geometryi”, który wygłoszony został na Uniwersytecie Lwowskim w roku akademickim 1882/83.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj