Zbiór Julii

zbiór na płaszczyźnie liczb zespolonych

Zbiór Julii i zbiór Fatou – dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną[1]. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.

Przykład zbioru Julii, Re(c)>0
Przykład zbioru Julii, Re(c)<0
Zbiór Julii dla
Zbiór Julii dla

Zbiór Julii funkcji jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre’a Fatou, którzy w latach 1918–1920[2] badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespolona na nią samą, tj.   gdzie   i   są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów   które są niezmiennicze przez   i są takie, że:

  1. suma zbiorów   jest zbiorem gęstym i
  2.   zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów  

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów   są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający”, a w drugim „neutralny”.

Zbiory  dziedziną Fatou funkcji   a ich suma jest zbiorem Fatou   funkcji   Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny   tj. (skończony) punkt   spełniający   lub   jeśli stopień wielomianu licznika   jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika   lub jeśli   dla pewnej stałej   i funkcja   spełnia ten warunek.

Dopełnienie zbioru   nazywa się zbiorem Julii   funkcji   Zbiór   jest nigdzie gęsty (nie zawiera punktów wewnętrznych) i nieprzeliczalny (jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych). Oba zbiory   i   są w pełni niezmiennicze[3].

Wielomiany kwadratoweEdytuj

Zbiór tworzą te punkty   dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

 
 

nie dąży do nieskończoności:

 

gdzie   – liczba zespolona będąca parametrem zbioru.

Można wykazać, że jest to równoważne z:

 

Podsumowując jednym zdaniem:

 

Dla różnych   otrzymuje się różne zbiory, stąd   jest rodziną zbiorów.

WłasnościEdytuj

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli   należy do zbioru Mandelbrota[4]. Jeśli zbiór Julii jest poza zbiorem Mandelbrota, składa się on ze zbioru rozproszonych punktów, taki zbiór nazywany jest pyłem Fatou[5].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Julia Set, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
  • FractalTS Generator zbiorów mandelbrota, płonącego statku oraz odpowiadających zbiorów julii