Otwórz menu główne

Równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie różniczkowe cząstkowerównanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Spis treści

Podstawowa definicjaEdytuj

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech   będzie liczbą całkowitą, a   otwartym podzbiorem   Równanie postaci:

  gdzie  

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym  -tego rzędu.

Funkcja   jest dana, natomiast   jest niewiadomą

 

gdzie   jest  -wymiarowym wielowskaźnikiem.

HistoriaEdytuj

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d’Alemberta. Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750–1830), tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych.

A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego.

P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych.

W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału, rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu.

Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard, J. Hadamard, E. Goursat. Z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym – M. Krzyżańskiego. Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.

Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.

PrzykładyEdytuj

Wszędzie dalej przyjmujemy, że   oraz   gdzie   jest otwartym podzbiorem   Ponadto   oznacza gradient funkcji   względem zmiennych przestrzennych   Zmienną   interpretujemy jako czas.

Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzęduEdytuj

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

  dla  
(1)

nazywamy funkcje

  dla  

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje   są klasy   w pewnym obszarze   oraz   wtedy każde rozwiązanie   równania

 

można zapisać w postaci

  gdzie   są całkami pierwszymi układu (1) a   jest dowolną funkcją klasy    -zmiennych.

Liniowe równanie różniczkowe cząstkoweEdytuj

  1. Równanie Laplace’a:  
  2. Liniowe równanie transportu:  
  3. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji):  
  4. Równanie Schrödingera:  
  5. Równanie falowe:  

Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkoweEdytuj

  1. Nieliniowe równanie Poissona:  
  2. Równanie Hamiltona-Jacobiego:  
  3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji:  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj