Otwórz menu główne

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie w chwili . Zadane są początkowe położenie fali oraz początkowy impuls . Fizycznie stała oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol to Laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta:

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki .

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie'a:

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Spis treści

Rozwiązania równania falowegoEdytuj

Równanie struny i wzór d'AlembertaEdytuj

Jednowymiarowe ( ) równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

 

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

 

gdzie   są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności   oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

 

Jest to 'wzór d'Alemberta'. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonejEdytuj

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

  dla dowolnego  

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

 

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór KirchhoffaEdytuj

Równanie falowe dla   ma postać

 

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności   rozwiązaniem jest:

 

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór PoissonaEdytuj

Równanie falowe dla   można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności   rozwiązaniem jest:

 

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3Edytuj

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

 

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

 

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku  .

Zasada HuygensaEdytuj

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie   oraz  .

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki  .

Niech  . Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że   tylko w pewnym skończonym czasie  . Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla  . Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak  .

Radiacyjna strzałka czasuEdytuj

Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu[1].

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj