(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.
(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera .
Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie Edytuj
Definicja operatora Laplace’a w
n
{\displaystyle n}
układzie kartezjańskim
△
≡
∇
2
=
∂
2
∂
x
1
2
+
∂
2
∂
x
2
2
+
⋯
+
∂
2
∂
x
n
2
.
{\displaystyle \triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.}
Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe Edytuj
(1) Operator Laplace’a w
n
{\displaystyle n}
ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
△
=
1
h
1
,
h
2
,
…
,
h
n
∑
i
=
1
n
∂
∂
q
i
(
h
1
,
h
2
,
…
,
h
n
h
i
2
∂
∂
q
i
)
,
{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\frac {h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right),}
gdzie:
q
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle q_{i},i=1,\dots ,n}
h
i
{\displaystyle h_{i}}
współczynniki Lamego , tj.
h
i
=
g
i
i
,
{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}},}
gdzie:
Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną
∂
∂
q
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}
(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy
△
=
1
h
1
h
2
h
3
∑
i
=
1
3
∂
∂
q
i
(
h
1
h
2
h
3
h
i
2
∂
∂
q
i
)
,
{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\right),}
czyli
△
=
1
h
1
h
2
h
3
[
∂
∂
q
1
(
h
2
h
3
h
1
∂
∂
q
1
)
+
∂
∂
q
2
(
h
1
h
3
h
2
∂
∂
q
2
)
+
∂
∂
q
3
(
h
1
h
2
h
3
∂
∂
q
3
)
]
.
{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\right)\right].}
Współrzędne sferyczne Edytuj Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych
r
,
θ
,
φ
{\displaystyle r,\theta ,\varphi }
△
=
1
r
2
(
∂
∂
r
r
2
∂
∂
r
+
1
sin
θ
∂
∂
θ
sin
θ
∂
∂
θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
)
{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}
lub
△
=
1
r
∂
2
∂
r
2
r
+
1
r
2
(
ctg
θ
∂
∂
θ
+
∂
2
∂
θ
2
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
)
.
{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r+{\frac {1}{r^{2}}}\left(\operatorname {ctg} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right).}
Współrzędne walcowe Edytuj Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych
ρ
,
θ
,
z
{\displaystyle \rho ,\theta ,z}
Δ
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
∂
φ
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru Edytuj
Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.
Współrzędne sferyczne
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
{
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}}
Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady )
g
i
j
=
(
1
0
0
0
r
2
0
0
0
r
2
sin
2
θ
)
{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}
zatem współczynniki Lamego są następujące
{
h
1
=
1
h
2
=
r
h
3
=
r
sin
θ
{\displaystyle {\begin{cases}h_{1}=1\\h_{2}=r\\h_{3}=r\sin \theta \end{cases}}}
Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w
3
{\displaystyle 3}
△
=
1
r
2
(
∂
∂
r
r
2
∂
∂
r
+
1
sin
θ
∂
∂
θ
sin
θ
∂
∂
θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
)
{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}
Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe Edytuj
Operator Laplace’a w
n
{\displaystyle n}
krzywoliniowym układzie współrzędnych
q
1
,
…
,
q
n
{\displaystyle q^{1},\dots ,q^{n}}
(1) ogólny wzór
∇
2
=
∇
q
m
⋅
∇
q
n
∂
2
∂
q
m
∂
q
n
+
∇
2
q
m
∂
∂
q
m
.
{\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla q^{m}\cdot \nabla q^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}+\nabla ^{2}q^{m}{\frac {\partial }{\partial q^{m}}}.}
(2) z użyciem symboli
Γ
m
n
l
{\displaystyle \Gamma _{mn}^{l}}
∇
2
=
g
m
n
(
∂
2
∂
q
m
∂
q
n
−
Γ
m
n
l
∂
∂
q
l
)
,
{\displaystyle \nabla ^{2}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial q^{l}}}\right),}
gdzie:
g
m
n
{\displaystyle g^{mn}}
Γ
m
n
l
{\displaystyle \Gamma _{mn}^{l}}
symbole Christoffela układu krzywoliniowego.(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
∇
2
=
1
|
det
g
|
∂
∂
q
i
(
|
det
g
|
g
i
j
∂
∂
q
j
)
,
{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{\sqrt {|\det g|}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {|\det g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right),}
gdzie:
det
g
{\displaystyle \det g}
(patrz równanie Voss -Weyla dotyczące dywergencji )
Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją Edytuj
Słuszne są następujące twierdzenia:
Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej
f
{\displaystyle f}
dywergencji z gradientu tej funkcji
△
f
=
div
(
grad
f
)
{\displaystyle \triangle f=\operatorname {div} \ (\operatorname {grad} \ f)}
lub równoważnie
Δ
f
≡
∇
2
=
∇
⋅
∇
f
.
{\displaystyle \Delta f\equiv \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla f.}
Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
rotacji
△
F
→
=
grad
(
div
F
→
)
−
rot
(
rot
F
→
)
{\displaystyle \triangle {\vec {F}}=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {F}})-{\operatorname {rot} }(\operatorname {rot} {\vec {F}})}
lub równoważnie
Δ
F
→
=
∇
(
∇
⋅
F
→
)
−
∇
×
(
∇
×
F
→
)
.
{\displaystyle \Delta {\vec {F}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {F}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {F}}).}
Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru
Δ
(
f
g
)
=
f
Δ
(
g
)
+
2
∇
f
⋅
∇
g
+
g
Δ
(
f
)
{\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta (g)+2\nabla f\cdot \nabla g+g\Delta (f)}
lub równoważnie
∇
2
(
f
g
)
=
f
∇
2
g
+
2
∇
f
⋅
∇
g
+
g
∇
2
f
.
{\displaystyle \nabla ^{2}(fg)=f\,\,\nabla ^{2}\!g+2\,\nabla f\cdot \nabla g+g\,\,\nabla ^{2}\!f.}
Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową Edytuj
Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci
F
→
=
[
F
1
,
…
,
F
n
]
≡
∑
k
=
1
n
F
k
e
^
k
{\displaystyle {\vec {F}}=[F_{1},\dots ,F_{n}]\equiv \sum _{k=1}^{n}F_{k}\,{\hat {e}}_{k}}
tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości
△
F
k
{\displaystyle \triangle F_{k}}
F
k
{\displaystyle F_{k}}
△
F
→
=
[
Δ
F
1
,
…
,
Δ
F
n
]
{\displaystyle \triangle {\vec {F}}=[\Delta F_{1},\dots ,\Delta F_{n}]}
lub równoważnie
△
F
→
=
∑
k
=
1
n
(
△
F
k
)
e
^
k
.
{\displaystyle \triangle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{n}(\triangle F_{k}){\hat {e}}_{k}.}
W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.
Operatory różniczkowe
(1 ) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
(2 ) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej
(3 ) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej
![{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108a2e3f497220aeba13afe5feb39067df82f3ac)
![{\displaystyle {\vec {F}}=[F_{1},\dots ,F_{n}]\equiv \sum _{k=1}^{n}F_{k}\,{\hat {e}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84825db603241126eb156e504066438b4748b3b)
![{\displaystyle \triangle {\vec {F}}=[\Delta F_{1},\dots ,\Delta F_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910414d7a3e75fb1a971ece33cdf0612ef02b9ce)
