Czterogradient

Czterogradient (lub 4-gradient) $\mathbf {\partial }$ – operator czterowektorowektorowy definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora wektorowego nabla $\mathbf {\nabla }$ definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyjmując sygnaturę metryki $({+}{-}{-}{-})$ czasoprzestrzeni, czterogradient można wyrazić za pomocą jego składowych:

a) składowe kowariantne (dolne) 4-gradientu

\partial _{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right),

b) składowe kontrawariantne (górne) 4-gradientu

\partial ^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial _{0},-{\vec {\nabla }}\right),

przy czym:

$\partial _{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\;\partial _{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kontrawariantnych $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ 4-wektora położenia $x^{\mu }$
$\partial ^{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\;\partial ^{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kowariantnych $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ 4-wektora położenia $x_{\mu }$

Czterogradient jest używany np. w równaniach szczególnej teorii względności, mechaniki kwantowej czy kwantowej teorii pola. Iloczyn skalarny czterogradientu daje operator d’Alamberta.

Oznaczenia

STW oraz OTW oznaczają skróty od szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

(c)

oznacza prędkość światła w próżni.

\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]

– tensor metryczny w płaskiej czasoprzestrzeni.

Jest kilka sposobów zapisu 4-wektorów:

(1) $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$ – pogrubiona czcionka i duże litery oznacza 4-wektory, małe litery dotyczą wektorów o 3 współrzędnych ${\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}.$

(2) $A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$ styl Ricciego, używający notacji tensorowej – użyteczny, gdy w wyrażeniach mamy tensory o większej liczbie indeksów; np. $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }.$

Indeks oznaczany literą łacińską przebiega zakres {1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np. $A^{i}=(a^{1},a^{2},a^{3})={\vec {\mathbf {a} }}.$

Indeks oznaczany literą grecką przebiega zakres {0, 1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np. $A^{\mu }=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=\mathbf {A} .$

W STW typowo używa się mieszanych zapisów, np. $\mathbf {A} =(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}),$ gdzie $a^{0}$ jest współrzędną czasową, ${\vec {\mathbf {a} }}$ przestawia współrzędne przestrzenne.

Zwięzłe, równoważne zapisy (por. konwencja sumacyjna Einsteina):

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}.

Definicja

(1) Składowe 4-gradientu kowariantne

{\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }.

Przecinek w ostatnim wyrażeniu ${}_{,\mu }$ oznacza różniczkowanie względem współrzędnych przestrzennych 4-wektora położenia $x^{\mu }.$

(2) Składowe 4-gradientu kontrawariantne

\mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right).

Alternatywne symbole do $\partial _{\alpha }$ to: $\Box$ oraz D (choć $\Box$ może też oznaczać $\partial ^{\mu }\partial _{\mu },$ tj. operator d’Alemberta).

(3) W OTW używa się niediagonalnego tensora metrycznego $g^{\alpha \beta }$ oraz wprowadza się pojęcie pochodnej kowariantnej $\nabla _{\mu }={}_{;\mu },$ (nie należy mylić jej z wektorem 3-wymiarowym ${\vec {\nabla }}$ ).

Pochodna kowariantna $\nabla _{\nu }$ zawiera 4-gradient $\partial _{\nu }$ oraz symbole Christoffela $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }.$

Ogólna zasada względności OTW powoduje, iż:

Prawa fizyki w OTW w zakrzywionej czasoprzestrzeni wyrażone za pomocą wielkości tensorowych muszą mieć taką samą formę jak w STW, przy czym pochodne zwyczajne zamieniają się na pochodne kowariantne (tzw. reguła przecinek → średnik; szczegółowo omawia to artykuł pochodna kowariantna).

a) Np. prawo w STW