Czterogradient (lub 4-gradient )
∂
{\displaystyle \mathbf {\partial } }
– operator czterowektorowektorowy definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego . Jest odpowiednikiem operatora wektorowego nabla
∇
{\displaystyle \mathbf {\nabla } }
definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej .
Przyjmując sygnaturę metryki
(
+
−
−
−
)
{\displaystyle ({+}{-}{-}{-})}
czasoprzestrzeni, czterogradient można wyrazić za pomocą jego składowych:
a) składowe kowariantne (dolne) 4-gradientu
∂
μ
≡
,
μ
≡
∂
∂
x
μ
=
(
∂
0
,
∂
1
,
∂
2
,
∂
3
)
=
(
∂
0
,
∇
→
)
,
{\displaystyle \partial _{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right),}
b) składowe kontrawariantne (górne) 4-gradientu
∂
μ
≡
,
μ
≡
∂
∂
x
μ
=
(
∂
0
,
∂
1
,
∂
2
,
∂
3
)
=
(
∂
0
,
−
∇
→
)
,
{\displaystyle \partial ^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial _{0},-{\vec {\nabla }}\right),}
przy czym:
∂
0
≡
∂
∂
x
0
,
∂
1
≡
∂
∂
x
1
{\displaystyle \partial _{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\;\partial _{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}}
itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kontrawariantnych
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}
4-wektora położenia
x
μ
{\displaystyle x^{\mu }}
∂
0
≡
∂
∂
x
0
,
∂
1
≡
∂
∂
x
1
{\displaystyle \partial ^{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\;\partial ^{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}}
itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kowariantnych
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}}
4-wektora położenia
x
μ
{\displaystyle x_{\mu }}
Czterogradient jest używany np. w równaniach szczególnej teorii względności , mechaniki kwantowej czy kwantowej teorii pola . Iloczyn skalarny czterogradientu daje operator d’Alamberta .
STW oraz OTW oznaczają skróty od szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności .
(
c
)
{\displaystyle (c)}
oznacza prędkość światła w próżni.
η
μ
ν
=
diag
[
1
,
−
1
,
−
1
,
−
1
]
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}
– tensor metryczny w płaskiej czasoprzestrzeni .
Jest kilka sposobów zapisu 4-wektorów:
(1)
A
⋅
B
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }
– pogrubiona czcionka i duże litery oznacza 4-wektory, małe litery dotyczą wektorów o 3 współrzędnych
a
→
⋅
b
→
.
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}.}
(2)
A
μ
η
μ
ν
B
ν
{\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}
styl Ricciego, używający notacji tensorowej – użyteczny, gdy w wyrażeniach mamy tensory o większej liczbie indeksów; np.
F
μ
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
.
{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }.}
Indeks oznaczany literą łacińską przebiega zakres {1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np.
A
i
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
=
a
→
.
{\displaystyle A^{i}=(a^{1},a^{2},a^{3})={\vec {\mathbf {a} }}.}
Indeks oznaczany literą grecką przebiega zakres {0, 1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np.
A
μ
=
(
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
)
=
A
.
{\displaystyle A^{\mu }=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=\mathbf {A} .}
W STW typowo używa się mieszanych zapisów, np.
A
=
(
a
0
,
a
→
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} =(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}),}
gdzie
a
0
{\displaystyle a^{0}}
jest współrzędną czasową,
a
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}
przestawia współrzędne przestrzenne.
Zwięzłe, równoważne zapisy (por. konwencja sumacyjna Einsteina ):
A
⋅
B
=
A
μ
η
μ
ν
B
ν
=
A
ν
B
ν
=
A
μ
B
μ
=
∑
μ
=
0
3
a
μ
b
μ
=
a
0
b
0
−
∑
i
=
1
3
a
i
b
i
=
a
0
b
0
−
a
→
⋅
b
→
.
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}.}
(1 ) Składowe 4-gradientu kowariantne
∂
∂
x
μ
=
(
1
c
∂
∂
t
,
∇
→
)
=
(
∂
t
c
,
∇
→
)
=
∂
μ
=
,
μ
.
{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }.}
Przecinek w ostatnim wyrażeniu
,
μ
{\displaystyle {}_{,\mu }}
oznacza różniczkowanie względem współrzędnych przestrzennych 4-wektora położenia
x
μ
.
{\displaystyle x^{\mu }.}
(2 ) Składowe 4-gradientu kontrawariantne
∂
=
∂
α
=
η
α
β
∂
β
=
(
1
c
∂
∂
t
,
−
∇
→
)
=
(
∂
t
c
,
−
∇
→
)
=
(
∂
t
c
,
−
∂
x
,
−
∂
y
,
−
∂
z
)
.
{\displaystyle \mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right).}
Alternatywne symbole do
∂
α
{\displaystyle \partial _{\alpha }}
to:
◻
{\displaystyle \Box }
oraz D (choć
◻
{\displaystyle \Box }
może też oznaczać
∂
μ
∂
μ
,
{\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu },}
tj. operator d’Alemberta ).
(3 ) W OTW używa się niediagonalnego tensora metrycznego
g
α
β
{\displaystyle g^{\alpha \beta }}
oraz wprowadza się pojęcie pochodnej kowariantnej
∇
μ
=
;
μ
,
{\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu },}
(nie należy mylić jej z wektorem 3-wymiarowym
∇
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}}
).
Pochodna kowariantna
∇
ν
{\displaystyle \nabla _{\nu }}
zawiera 4-gradient
∂
ν
{\displaystyle \partial _{\nu }}
oraz symbole Christoffela
Γ
μ
σ
ν
.
{\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }.}
Ogólna zasada względności OTW powoduje, iż:
Prawa fizyki w OTW w zakrzywionej czasoprzestrzeni wyrażone za pomocą wielkości tensorowych muszą mieć taką samą formę jak w STW, przy czym pochodne zwyczajne zamieniają się na pochodne kowariantne (tzw. reguła przecinek → średnik; szczegółowo omawia to artykuł pochodna kowariantna ).
a) Np. prawo w STW
T
μ
ν
,
μ
=
0
{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}
przechodzi w OTW w prawo:
T
μ
ν
;
μ
=
0.
{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0.}
b) Podobnie, dla tensora (1,0) prawo w STW:
∇
β
V
α
=
∂
β
V
α
+
V
μ
Γ
α
μ
β
{\displaystyle \nabla _{\beta }V^{\alpha }=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }}
przechodzi w OTW w prawo:
V
α
;
β
=
V
α
,
β
+
V
μ
Γ
α
μ
β
.
{\displaystyle V^{\alpha }{}_{;\beta }=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }.}
c) Dla tensora (2,0) prawo w STW:
∇
ν
T
μ
ν
=
∂
ν
T
μ
ν
+
Γ
μ
σ
ν
T
σ
ν
+
Γ
ν
σ
ν
T
μ
σ
{\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}
przechodzi w OTW w prawo:
T
μ
ν
;
ν
=
T
μ
ν
,
ν
+
Γ
μ
σ
ν
T
σ
ν
+
Γ
ν
σ
ν
T
μ
σ
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }.}
1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej