Czterogradient

Czterogradient (lub 4-gradient) – operator czterowektorowektorowy definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora wektorowego nabla definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, czterogradient można wyrazić za pomocą jego składowych:

a) składowe kowariantne (dolne) 4-gradientu

b) składowe kontrawariantne (górne) 4-gradientu

przy czym:

  • itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kontrawariantnych 4-wektora położenia
  • itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kowariantnych 4-wektora położenia

Czterogradient jest używany np. w równaniach szczególnej teorii względności, mechaniki kwantowej czy kwantowej teorii pola. Iloczyn skalarny czterogradientu daje operator d’Alamberta.

OznaczeniaEdytuj

STW oraz OTW oznaczają skróty od szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

  oznacza prędkość światła w próżni.
 tensor metryczny w płaskiej czasoprzestrzeni.

Jest kilka sposobów zapisu 4-wektorów:

(1)   – pogrubiona czcionka i duże litery oznacza 4-wektory, małe litery dotyczą wektorów o 3 współrzędnych  

(2)   styl Ricciego, używający notacji tensorowej – użyteczny, gdy w wyrażeniach mamy tensory o większej liczbie indeksów; np.  

Indeks oznaczany literą łacińską przebiega zakres {1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np.  

Indeks oznaczany literą grecką przebiega zakres {0, 1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np.  

W STW typowo używa się mieszanych zapisów, np.   gdzie   jest współrzędną czasową,   przestawia współrzędne przestrzenne.

Zwięzłe, równoważne zapisy (por. konwencja sumacyjna Einsteina):

 

DefinicjaEdytuj

(1) Składowe 4-gradientu kowariantne

 

Przecinek w ostatnim wyrażeniu   oznacza różniczkowanie względem współrzędnych przestrzennych 4-wektora położenia  

(2) Składowe 4-gradientu kontrawariantne

 

Alternatywne symbole do   to:   oraz D (choć   może też oznaczać   tj. operator d’Alemberta).

(3) W OTW używa się niediagonalnego tensora metrycznego   oraz wprowadza się pojęcie pochodnej kowariantnej   (nie należy mylić jej z wektorem 3-wymiarowym  ).

Pochodna kowariantna   zawiera 4-gradient   oraz symbole Christoffela  

Ogólna zasada względności OTW powoduje, iż:

Prawa fizyki w OTW w zakrzywionej czasoprzestrzeni wyrażone za pomocą wielkości tensorowych muszą mieć taką samą formę jak w STW, przy czym pochodne zwyczajne zamieniają się na pochodne kowariantne (tzw. reguła przecinek → średnik; szczegółowo omawia to artykuł pochodna kowariantna).

a) Np. prawo w STW

 
przechodzi w OTW w prawo:
 

b) Podobnie, dla tensora (1,0) prawo w STW:

 
przechodzi w OTW w prawo:
 

c) Dla tensora (2,0) prawo w STW:

 
przechodzi w OTW w prawo:
 

Zobacz teżEdytuj

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

BibliografiaEdytuj

  • David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.