Otwórz menu główne

Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.

Operator ten jest oznaczany symbolem „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.

Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.

Współrzędne Edytuj

We współrzędnych   operator d’Alemberta ma postać[1][2]

 

gdzie:

 operator Laplace’a,
 prędkość światła w próżni.

Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się

 

Współrzędne Edytuj

We współrzędnych   mamy:

 

Zapis skróconyEdytuj

Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.

 

gdzie:

  – składowe kowariantne 4-gradientu,
  – składowe kontrawariantne 4-gradientu.

Wstawiając współrzędne, otrzyma się

 

przy czym

 
 

ZastosowaniaEdytuj

Teoria drgańEdytuj

Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny

 

gdzie:

  – przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,
  – współrzędna położenia punktu na strunie,
  – czas.

Elektrodynamika klasycznaEdytuj

Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni

 

gdzie  czteropotencjał pola elektromagnetycznego.

Elektrodynamika kwantowaEdytuj

Równanie Kleina-Gordona

 

Zobacz teżEdytuj

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

PrzypisyEdytuj

  1. Encyclopedia of Mathematics: D’Alembert operator (ang.). encyclopediaofmath.org. [dostęp 2016-11-12].
  2. Eric W. Weisstein: d’Alembertian (ang.). mathworld.wolfram.com. [dostęp 2016-11-12].

BibliografiaEdytuj

  • David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press 2017