Otwórz menu główne

Gradient (matematyka)

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia.
Na powyższych obrazkach pole skalarne funkcji "ciemny", wektory przedstawiają pole będące gradientem "ciemny".

Gradientpole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł („długość”) każdego wektora jest równy szybkości wzrostu pola skalarnego w kierunku największego wzrostu.

Gradientem nazywa się również pojedynczy wektor wskazujący kierunek i szybkość wzrostu wspomnianego pola skalarnego w danym punkcie; wektor przeciwny do gradientu (oraz odpowiadające mu przeciwne do gradientowego pole wektorowe) nazywa się często antygradientem. Wyrażenie „zgodnie z gradientem” należy rozumieć jako „zgodnie z kierunkiem najszybszego wzrostu”.

Gradient to wreszcie nazwa operatora różniczkowego przekształcającego pole skalarne w opisane wyżej pole wektorowe (w powyższych znaczeniach gradient jest obrazem wspomnianego operatora, odpowiednio całej dziedziny i pojedynczego punktu). Uogólnieniem gradientu na funkcje przestrzeni euklidesowej w inną jest macierz Jacobiego. Jest ona macierzą przekształcenia liniowego znanego jako pochodna zupełna, dlatego za dalej idące uogólnienia (na funkcje między przestrzeniami Banacha) można uważać pochodną Gâteaux, a przy dodatkowych założeniach: pochodną Frécheta.

WprowadzenieEdytuj

Przykładem może być pokój, w którym temperatura opisana jest polem skalarnym   Tak więc w każdym punkcie   temperatura wynosi   (zakładamy, że nie zmienia się ona w czasie). Wówczas w każdym punkcie pokoju gradient   w tym punkcie pokazuje kierunek (wraz ze zwrotem), w którym temperatura rośnie najszybciej. Moduł gradientu wskazuje jak szybko rośnie temperatura w tym kierunku.

Innym przykładem może być powierzchnia, dla której   oznacza wysokość nad poziomem morza w punkcie   Gradientem   w punkcie jest wektor wskazujący kierunek największego pochylenia w tym punkcie. Miara tego pochylenia jest dana jako moduł wektora gradientu.

Dzięki iloczynowi skalarnemu gradient można wykorzystać do mierzenia nie tylko tego, jak pole skalarne zmienia się w kierunku największej zmiany, lecz także w innych kierunkach. Niech w przykładzie ze wzgórzem największe pochylenie zbocza wynosi 40%. Jeśli droga biegnie prosto pod górę, to największe pochylenie drogi również będzie wynosić 40%. Jeśli jednak droga biegnie wokół wzgórza pod pewnym kątem (względem wektora gradientu), to będzie miała mniejsze nachylenie. Przykładowo jeśli kąt między drogą a kierunkiem w górę, rzutowany na płaszczyznę poziomą, wynosi 60°, to największe nachylenie wzdłuż drogi będzie wynosić 20%, co jest równe 40% razy cosinus 60°.

Ta obserwacja może być wyrażona matematycznie w następujący sposób. Jeśli funkcja wysokości terenu   jest różniczkowalna, to gradient funkcji   pomnożony skalarnie przez wektor jednostkowy daje pochylenie terenu w kierunku tego wektora. Dokładniej, jeśli   jest różniczkowalna, to iloczyn skalarny gradientu   przez dany wektor jednostkowy jest równy pochodnej kierunkowej   w kierunku tego wektora jednostkowego.

Podobnie obrazuje się zmianę innych wielkości fizycznych takich jak: stężenie, współczynnik pH, gęstości ładunku elektrycznego, jasność, kolor itp. w określonej przestrzeni.

DefinicjaEdytuj

 
Gradient funkcji   przedstawiony jako pole wektorowe na dolnej płaszczyźnie.

Gradient (lub gradientowe pole wektorowe) funkcji skalarnej   oznaczany   gdzie   (nabla) to wektorowy operator różniczkowy nazywany nabla. Innym oznaczeniem gradientu   jest  

W układzie współrzędnych kartezjańskich gradient jest wektorem, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi funkcji  . Gradient definiuje się jako pewne pole wektorowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich składowe gradientu funkcji  pochodnymi cząstkowymi tej funkcji, tzn.

 

Gradient jest wektorem kolumnowym, jednak bywa zapisywany jako wektor wierszowy. Jeżeli funkcja zależy także od parametru takiego jak czas, to zwykle gradient oznacza wtedy wektor jej pochodnych przestrzennych.

Gradient funkcji wektorowej   to

 

lub też transpozycja macierzy Jacobiego

 

Jest to tensor drugiego rzędu.

Ogólniej gradient może być zdefiniowany za pomocą pochodnej zewnętrznej:

 

Symbole   oraz   oznaczają tutaj izomorfizmy muzyczne.

Postać w trójwymiarowej przestrzeni współrzędnychEdytuj

Postać gradientu zależy od użytego układu współrzędnych i wymiaru przestrzeni. Np. w przestrzeni trójwymiarowej gradient wyraża się przez trzy współrzędne następująco:

  • współrzędne kartezjańskie
     
  • współrzędne walcowe
     
  • współrzędne sferyczne
     

Jeśli oznaczyć przez   wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich, to gradient można zadać jako

 

Podobnie jest dla innych układów współrzędnych.

PrzykładEdytuj

Gradientem funkcji

 

zadanej we współrzędnych kartezjańskich   jest wektor

 

Związek z pochodną i różniczkąEdytuj

Przybliżenie liniowe funkcjiEdytuj

Gradient funkcji   przestrzeni euklidesowej   w prostą euklidesową   w dowolnym punkcie   należącym do   charakteryzuje najlepsze przybliżenie liniowe   w punkcie   Rozumie się przez to

 

dla   bliskiego   gdzie   oznacza gradient   obliczony w punkcie   a kropka to iloczyn skalarny na   Równanie to jest równoważne dwóm pierwszym wyrazom rozwinięcia szeregu Taylora wielu zmiennych dla   w punkcie  

Różniczka i pochodna (zewnętrzna)Edytuj

Najlepszym przybliżeniem liniowym funkcji   w punkcie   należącym do   jest przekształcenie liniowe   oznaczane często   lub   i nazywane różniczką bądź pochodną zupełną funkcji   w punkcie   Stąd gradient związany jest różniczką następującym wzorem

 

dla dowolnego   Funkcja   która przekształca   na   nazywa się różniczką lub pochodną zewnętrzną   Jest to przykład 1-formy różniczkowej.

Jeśli postrzegać   jako przestrzeń wektorów kolumnowych o   składowych rzeczywistych, to   można uważać za wektor wierszowy

 

tak, iż   jest dana poprzez mnożenie macierzy. Gradient jest wówczas odpowiadającym mu wektorem kolumnowym, tzn.  

Gradient jako pochodnaEdytuj

Niech   będzie zbiorem otwartym w   Jeśli funkcja   jest różniczkowalna (w sensie Frécheta), to różniczką   jest pochodna Frécheta   Stąd   jest funkcją z   w   taką, że

 

gdzie   oznacza iloczyn skalarny.

Stąd gradient spełnia standardowe własności pochodnej:

Liniowość
Gradient jest liniowy w tym sensie, iż jeżeli   i   są dwiema funkcjami o wartościach rzeczywistych różniczkowalnymi w punkcie   zaś   i   są dwoma skalarami (stałymi rzeczywistymi), to kombinacja liniowa   jest różniczkowalna w   i co więcej:
 
Reguła iloczynu
Niech   i   są dwiema funkcjami o wartościach rzeczywistych różniczkowalnymi w punkcie   wówczas reguła iloczynu zapewnia, że iloczyn   funkcji   i   jest różniczkowalny w   oraz
 
Reguła łańcuchowa
Niech   będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na podzbiorze   przestrzeni   różniczkowalną w punkcie   Istnieją dwie postaci reguły łańcuchowej związanej z gradientem. Wpierw niech   oznacza krzywą parametryczną, tj. funkcję   odwzorowującą podzbiór   w   Jeśli   jest różniczkowalna w punkcie   takim, że   to
 
Ogólniej, jeśli jest   to prawdziwa jest równość:
 
gdzie   oznacza macierz Jacobiego, zaś   oznacza transpozycję macierzy.
Drugą postać reguły łańcuchowej można przedstawić następująco: niech   będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na podzbiorze   prostej   przy czym   jest różniczkowalna w punkcie   Wówczas
 

Własności przekształceńEdytuj

Choć gradient jest zdefiniowany za pomocą współrzędnych, to jest on kontrawariantny ze względu na przekształcenie współrzędnych za pomocą macierzy ortogonalnej. Jest to prawda w tym sensie, że jeżeli   jest macierzą ortogonalną, to

 

co wynika z opisanej wyżej reguły łańcuchowej. Wektor zachowujący się w ten sposób nazywa się wektorem kontrawariantnym, gradient jest zatem szczególnym rodzajem tensora.

Różniczka jest naturalniejsza od gradientu, gdyż jest niezmiennicza na wszystkie przekształcenia współrzędnych (dyfeomorfizmy), podczas gdy gradient jest niezmienniczy tylko na przekztałcenia ortogonalne (ze względu na jawne użycie iloczynu skalarnego w definicji). Z tego powodu często rozmywa się różnicę między tymi dwoma pojęciami korzystając z pojęcia wektorów kowariantnych i kontrawariantnych. Z tego punktu widzenia składowe gradientu przekształcane są kowariantnie przy zmianie współrzędnych, dlatego mówi się o kowariantnym polu wektorowym, podczas gdy składowe pola wektorowego w zwykłym sensie zmieniają się kontrawariantnie. W języku tym gradient jest więc różniczką, jako że kowariantne pole wektorowe jest tym samym, co 1-forma różniczkowa[1].

Uogólnienie na rozmaitości riemannowskieEdytuj

Dla dowolnej funkcji gładkiej   określonej na rozmaitości riemannowskiej   gradient   to pole wektorowe   takie, że dla dowolnego pola wektorowego   zachodzi

  tzn.  

gdzie   to iloczyn wewnętrzny wektorów stycznych w punkcie   wyznaczony przez metrykę   symbol   oznacza gradient   obliczony w punkcie   zaś   oznaczane czasami   jest funkcją, która każdemu punktowi   przyporządkowuje pochodną kierunkową   w kierunku   obliczoną w punkcie  

Innymi słowy   opisana za pomocą mapy   z otwartego podzbioru   w podzbiór otwarty   jest dana wzorem:

 

gdzie   oznacza  -tą składową   w tej mapie.

Tak więc lokalnie gradient przyjmuje postać:

 

Uogólniając przypadek   gradient funkcji jest związany z pochodną zewnętrzną, gdyż   gdzie   to pochodna   w punkcie   Dokładniej, gradient   jest polem wektorowym związanym z 1-formą różniczkową   za pomocą izomorfizmu muzycznego   (nazywanego „krzyżykiem”) określonego za pomocą metryki   Związek między pochodną zewnętrzną a gradientem funkcji   jest przypadkiem szczególnym powyższego, gdy metryka jest płaską metryką daną za pomocą (euklidesowego) iloczynu skalarnego.

Dalsze własności i zastosowaniaEdytuj

PoziomiceEdytuj

Dla funkcji   określonej w punkcie   można rozważać powierzchnię przez niego przechodzącą, w punktach której funkcja przyjmuje wszędzie tę samą wartość. Powierzchnię taką nazywa się wówczas powierzchnią poziomicy.

Jeśli pochodne cząstkowe   są ciągłe, to iloczyn skalarny   gradientu w punkcie   i wektora   daje pochodną kierunkową   w punkcie   wzdłuż   Wynika stąd, że w tym przypadku gradient   jest ortogonalny do poziomic   Przykładowo powierzchnia poziomicy w przestrzeni trójwymiarowej jest określona równaniem postaci   Gradient   jest wtedy wektorem normalnym do powierzchni.

Ogólniej, dowolna hiperpowierzchnia zanurzona w rozmaitości riemannowskiej może być opisana równaniem postaci   gdzie   nigdzie nie znika. Gradient   jest wtedy normalny do tej hiperpowierzchni.

Nauki przyrodniczeEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Niestety, ten dezorientujący język wprowadza dalsze zamieszanie ze względu na różne konwencje. Choć składowe 1-formy różniczkowej zmieniają się kowariantnie ze względu na przekształcenia współrzędnych, to same 1-formy różniczkowe zmieniają się kontrawariatnie (poprzez pullback) ze względu na dyfeomorfizmy. Z tego powodu o 1-formach różniczkowych mówi się czasami, że są nie kowariantne, a kontrawariantne i wtedy pola wektorowe są kowariantne, nie zaś kontrawariantne.

BibliografiaEdytuj

  • Theresa M. Korn, Granino Arthur Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Nowy Jork: Dover Publications, 2000, s. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.
  • H.M. Schey: Div, Grad, Curl, and All That. Wyd. II. W. W. Norton, 1992. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561.

Linki zewnętrzneEdytuj