Otwórz menu główne

Definicja macierzy JacobiegoEdytuj

Założenia:

  •  podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej  
  •  funkcja ze zbioru   w przestrzeń   mająca   funkcji składowych   ze zbioru   na zbiór liczb rzeczywistych,   o zmiennych  

Jeżeli funkcja   ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie   to

(1) macierzą Jacobiego   nazywa się macierz, której elementami   są funkcje   tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

 

tj.

1-szy wiersz tej macierzy stanowią pochodne 1-szej funkcji po poszczególnych zmiennych   itd.

(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty   funkcji   tworzących funkcję   tzn.

 

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla   i funkcji   zapisanej w postaci kolumny, tj.

 

gdzie   – kolumna zawierająca składowe funkcji   (  oznacza transpozycję wektora).

Uwaga:

Wartością macierzy Jacobiego   funkcji   w punkcie   nazywa się macierz   której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie   tj.

 

Definicja jakobianuEdytuj

Definicja:

Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.

Jakobian oznacza się symbolami:      

PrzykładyEdytuj

Przykład 1: Jakobian 2 × 2Edytuj

Dla funkcji   takiej że

 
 

jakobian wynosi

 

Przykład 2: Jakobian nie istniejeEdytuj

Dla funkcji   o 4 funkcjach składowych   tj.

 
 
 
 

a) macierz Jacobiego ma postać

 

Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.

b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Przykład 3: Ujemny znak jakobianuEdytuj

Dla funkcji o składowych

 
 
 

jakobian ma wartość

 

Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja   zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów  

Różniczkowy element powierzchniEdytuj

Twierdzenie o całce po powierzchniEdytuj

Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych biegunowych na kartezjańskieEdytuj

Transformacja ze współrzędnych biegunowych   do kartezjańskich   dana jest z pomocą funkcji   o 2 funkcjach składowych

 
 

a) Macierz Jacobiego ma postać

 

b) Jakobian

 

c) Różniczkowy element powierzchni

Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.

 

Różniczkowy element objętościEdytuj

Twierdzenie o całce po objętościEdytuj

Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych sferycznych na kartezjańskieEdytuj

Przejście ze współrzędnych sferycznych   na kartezjańskie   dane jest za pomocą funkcji   o 3 funkcjach składowych

 
 
 

a) Macierz Jacobiego ma postać

 

b) Wyznacznik tej macierzy wynosi

 

Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych  

c) Różniczkowy element objętości

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

 

Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.

 

Np. wykonując całkowanie funkcji   przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy

  • zmienne   wyrazić przez zmienne  
  • element objętości   wyrazić przez równy mu element  

Związek macierzy Jacobiego z pochodną FréchetaEdytuj

(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja   jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie   to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta   jest macierz Jacobiego   funkcji   w punkcie  

(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy  

(3) Funkcja   nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie   by macierz Jacobiego   była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji   w punkcie   Oznacza to, że funkcja   jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego   istnieją pochodne  

(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:

  • macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
  • gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego).

(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Macierz Jacobiego jako macierz przekształcenia liniowegoEdytuj

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy przekształceń liniowych. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj