Wrońskian

Wrońskianwyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć[1].

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

DefinicjaEdytuj

Niech   będą  -krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz

 

funkcji i ich pochodnych takiej, że pierwszym wierszu znajdują się funkcje   w drugim ich pierwsze pochodne, a w dalszych kolejne, aż do pochodnej rzędu   w ostatnim wierszu macierzy, nazywa się macierzą fundamentalną (macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego – jedynie ma taką samą nazwę [przyp. macierz fundamentalna]) lub Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

 

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym,   Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

 

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem różniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy   są liniowo zależne nad C ⇔ gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[2].

WłasnościEdytuj

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

 

oraz

 

Przykład zastosowaniaEdytuj

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe   oraz   tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:  

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań

a)   tzn.   jest rozwiązaniem.

b)   tzn.   również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:

Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):  

Wtedy:  

c)  

Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni   wnioskujemy, że układ   jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla  

PrzypisyEdytuj

  1. Wronskian, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].
  2. Dowód można znaleźć np. w I.Kaplansky, An introduction to differential algebra.

BibliografiaEdytuj

  • Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
  • Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.