Otwórz menu główne

Pochodna funkcji

miara szybkości zmian wartości funkcji
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.

Spis treści

Wykres funkcji narysowanej na czarno i linii stycznej do tej funkcji, narysowanej na czerwono. Nachylenie linii stycznej jest równe pochodnej funkcji w zaznaczonym punkcie.

Pochodna funkcji – miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów[1].

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistychEdytuj

 
Animacja, która daje intuicyjny pomysł na pochodną, ponieważ „zmiana” funkcji zmienia się, gdy zmienia się argument.

Niech   będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej   określoną w otoczeniu punktu  [2]. Pochodną funkcji   w punkcie   nazywamy granicę (o ile istnieje):

 

co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:

 [1],

We wzorze tym:

  •   jest przyrostem zmiennej niezależnej  
  •   jest przyrostem zmiennej zależnej  
  • Wyrażenie   nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.

Jeżeli przyjmie się, że   to pochodną w punkcie   można zapisać następująco:

 

Często w publikacjach przyrost   oznacza się literą   Wtedy pochodna jest równa:

 [3].

Jeśli funkcja   ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny   to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji   lub krótko: pochodną   w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem   – pozostałe oznaczenia opisano w oddzielnej sekcji – w ten sposób   oznaczać będzie pochodną funkcji   dla argumentu   w tym wypadku   również jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

Własności funkcji pochodnejEdytuj

  • iloczyn pochodnej przez stałą
 
 
  • pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza)
 
 
 
  • pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności)
 
  • pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu)
 

Pochodne niektórych funkcji elementarnychEdytuj

Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji i ich złożeń; niech   oznacza stałą, zaś   będzie liczbą naturalną, wówczas:

  • funkcje stałe[a] i funkcje potęgowe[b][c],
     
  • funkcje wykładnicze[d] i logarytmiczne[e]
     
  • funkcje trygonometryczne[f],
     
     
  • funkcje cyklometryczne[g],
     
     
     
     

wszędzie, gdzie powyższe wzory mają sens.

Pochodne wyższego rzęduEdytuj

Jeżeli pochodna funkcji   istnieje w każdym punkcie przedziału otwartego   to otrzymujemy funkcję   taką że

  dla  

Funkcję tę nazywamy pierwszą pochodną funkcji   Ta funkcja może być również różniczkowalna w każdym punkcie przedziału   Różniczkując ją, otrzymujemy drugą pochodną funkcji  

  dla  

Oznaczamy to następująco:

  lub  

Ogólnie pochodną rzędu   określamy rekurencyjnie:

  lub  [4].

PrzykładyEdytuj

  1.  
  2.    
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  -tą pochodną iloczynu funkcji można wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:
 

Zastosowania w fizyceEdytuj

Prędkość chwilowaEdytuj

Załóżmy, że ciało porusza się wzdłuż prostej tak że   oznacza zależność współrzędnej   ustalonego punktu ciała od czasu   Droga przebyta przez to ciało w przedziale czasu   wynosi

 

Prędkością średnią na tym odcinku jest wielkość:

 

Prędkość chwilowa w momencie   jest równa[5]:

 

Natężenie prąduEdytuj

Prąd elektryczny jest to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech   oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie   Wówczas wielkość

 

nazywa się średnim natężeniem prądu.

Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość[6]:

 

Gęstość rozkładu masyEdytuj

Załóżmy, że mamy pręt o długości   taki że masa części tego pręta liczona od początku do punktu   dana jest funkcją   Wtedy masa zawarta w przedziale   wynosi:

 

Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:

 

W granicy

 

otrzymuje się gęstość masy w punkcie  [7].

Pojęcie gęstości masy jest używane w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Np. dla zmiennej losowej zależnej od jednej zmiennej przyjmuje się, że „masa” liczona od   do   jest równa 1 i definiuje się gęstość masy (lub gęstość prawdopodobieństwa) wzdłuż prostej[8].

Geometryczny sens pochodnejEdytuj

Styczna do wykresu funkcjiEdytuj

Zobacz też: stycznasieczna.

Elementarna definicja stycznej do okręgu jako prostej mającej dokładnie jeden (tzn. jeden i tylko jeden) punkt z nim wspólny nie jest wystarczający dla innych krzywych (patrz rysunki powyżej).

 
Styczna w punkcie   jako granica siecznych  
 
Styczna i sieczna do krzywej Γ.

W matematyce styczną do krzywej w punkcie   (patrz rysunek obok) jest prosta, będąca granicą siecznych do krzywej przechodzących przez punkty   i   gdy   dąży do   Granica ta nie zawsze istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą.

Niech będzie dana funkcja ciągła   na przedziale otwartym   Jej wykres Γ (kolor czerwony na rysunku) jest nazywany krzywą ciągłą. Współczynnik kierunkowy siecznej (kolor niebieski na rysunku) przechodzącej przez punkty   i   należące do przedziału   jest równy (patrz rysunek obok):

 

Wtedy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie   (kolor zielony na rysunku) jest równy:

 [9].

Różniczka funkcjiEdytuj

 
Zaznaczona niebieskim kolorem styczna do funkcji   dla argumentu   tj. w punkcie   wraz z zaznaczonymi różniczkami.

Funkcja   ma pochodną skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba   że:

 

gdzie   jest zależna od   ale niezależna od   Funkcja   zgodnie z notacją małego „o” ma własność:

 [10].

Stąd wynika, że pochodna jest współczynnikiem liniowym prostej najlepiej aproksymującej funkcję w otoczeniu punktu   (jest to styczna do wykresu funkcji w  ):

 

Wyrażenie po prawej stronie nazywa się często głównym członem przyrostu   lub różniczką funkcji   i oznacza się je symbolem  

 

Przyrost zmiennej niezależnej   nazywa się wtedy różniczką zmiennej  

 

i różniczkę dowolnej funkcji   zazwyczaj zapisujemy tak:

 [11],

skąd wynika, że pochodna funkcji   w punkcie   jest równa stosunkowi różniczki funkcji   w tym punkcie do różniczki zmiennej niezależnej  

 

Jednym z zastosowań różniczek w praktyce jest możliwość zastąpienia różnic łatwiejszymi do obliczania różniczkami. Na przykład

  dla błędu bezwzględnego przybliżenia oraz
  dla błędu względnego przybliżenia[12].

Przykład zastosowania różniczekEdytuj

Jeśli

 

to błąd jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji   w punkcie   odpowiadającego przyrostowi  

 [13].

Badanie zmienności funkcjiEdytuj

Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema i punkty przegięciaEdytuj

Z twierdzenia Lagrange’a wynikają następujące własności pochodnej[14]:

Jeżeli funkcja   jest różniczkowalna, to
  1. Jeśli   to   jest funkcją rosnącą na  
  2. Jeśli   to   jest funkcją niemalejącą na  
  3. Jeśli   to   jest funkcją malejącą na  
  4. Jeśli   to   jest funkcją nierosnącą na  
  5. Jeśli   to   jest funkcją stałą na  

Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są miejsca zerowe jej pochodnej. Ponieważ funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą[15], więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności   i   są sumami przedziałów otwartych.

Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół mają skończoną lub przeliczalną liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna. Wtedy każde miejsce zerowe albo oddziela dwa przedziały, na których pochodna przyjmuje jednakowe znaki, albo różne znaki. Stąd wynikają następujące definicje.

  • Funkcja   przyjmuje w punkcie   maksimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu   że dla każdego   zachodzi nierówność  [16].

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji   jest:

dodatnia w przedziale  
równa zero w  
ujemna w przedziale  

to funkcja   ma w   maksimum.

  • Funkcja   przyjmuje w punkcie   minimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu   że dla każdego   zachodzi nierówność  [16].

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji   jest:

ujemna w przedziale  
równa zero w  
dodatnia w przedziale  

to funkcja   ma w   minimum.

Minima i maksima funkcji nazywamy jej ekstremami.

  • Funkcja   ma w punkcie   punkt przegięcia, jeśli jej pochodna jest:
równa zero w  
albo dodatnia, albo ujemna w zbiorze  

Schemat badania zmienności funkcjiEdytuj

Przed narysowaniem wykresu funkcji   należy[17]:

  1. Znaleźć dziedzinę funkcji. Znaleźć granice funkcji w punktach brzegu dziedziny.
  2. Znaleźć miejsca zerowe pochodnej funkcji oraz punkty, w których pochodna funkcji nie istnieje lub jest równa   Obliczyć wartości funkcji w tych punktach i stwierdzić, czy w tych punktach funkcja przyjmuje minimum lub maksimum.
  3. Na każdym z przedziałów wyznaczonych przez miejsca zerowe pochodnej ustalić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
  4. Zbadać istnienie punktów przegięcia funkcji.
  5. Rozwiązać, jeśli to możliwe, równanie   oraz ustalić przedziały, w których funkcja ma stały znak.
  6. Znaleźć asymptoty funkcji.

Pochodna funkcji wielu zmiennychEdytuj

Pochodne cząstkoweEdytuj

W przypadku funkcji wielu zmiennych   możliwe jest ustalenie   jej argumentów i traktowanie jej jako funkcji jednej zmiennej – pochodną względem tej zmiennej nazywa się „pochodną cząstkową”. Jeśli   gdzie   to pochodną cząstkową funkcji   względem jej  -tej współrzędnej   nazywa się wartość granicy

 

o ile istnieje i jest skończona. W zapisie wektorowym powyższą granicę można zapisać wzorem

 

gdzie   jest wektorem o jedynej niezerowej współrzędnej  -tej.

Powyższą definicję można rozszerzyć zauważając, że   gdzie   jest wektorem bazy standardowej przestrzeni   Wybranie dowolnego wektora jednostkowego   zamiast wektora bazy prowadzi do definicji pochodnej kierunkowej wzdłuż   mianowicie:

 

Jeśli   jest wektorem jednostkowym, to pochodna kierunkowa funkcji   wzdłuż   jest równa kombinacji liniowej pochodnych cząstkowych funkcji   o współczynnikach  

Pochodne zupełneEdytuj

 
Paraboloida, która jest wykresem funkcji   w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Dowolną funkcję   można rozłożyć na funkcje współrzędnych   przyjmując   Jeżeli funkcje te są różniczkowalne w każdym kierunku, co jest równoważne istnieniu ich wszystkich pochodnych cząstkowych, to funkcję   nazywa się różniczkowalną w słabym sensie[18]; przedstawieniem tej pochodnej we współrzędnych za pomocą odpowiadającej jej macierzy przekształcenia liniowego jest tzw. macierz Jacobiego.

Mogłoby się wydawać, że definicja słabej pochodnej jest w zupełności zadowalająca, jednak w przypadku funkcji wielowymiarowych należy zwrócić uwagę na zjawiska związane z większą liczbą wymiarów: istnieją przykładowo funkcje, które mają pochodne we wszystkich kierunkach (równoważnie: mają wszystkie pochodne cząstkowe, zob. ostatni ustęp poprzedniej sekcji), czyli wzdłuż prostych, lecz nie mają pochodnych wzdłuż innych krzywych – problem ten nie istnieje w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, gdzie granicę można obliczać wyłącznie wzdłuż krzywych leżących na prostej.

Definicja pochodnej funkcji wielu zmiennych   stanowiącą rozwiązanie tego problemu naśladuje definicję „różniczkową” dla funkcji rzeczywistej (zob. Związek z różniczką). Pochodną w mocnym sensie[19] funkcji   dla argumentu punktowego   nazywa się takie przekształcenie liniowe   dla którego zachodzi

 

gdzie   oznacza moduł odpowiednich wektorów; odwzorowanie   podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, nazywa się różniczką (w mocnym sensie) funkcji  [20]. Rolę funkcji pochodnej pełni tu więc odwzorowanie   przestrzeni współrzędnych w przestrzeń liniową przekształceń liniowych (por. przestrzeń funkcyjna przekształceń liniowych) dane wzorem   tj. przypisujące punktowi przekształcenie liniowe.

Istnienie pochodnej w silnym sensie pochodnej pociąga istnienie pochodnej w słabym sensie; jeżeli jednak funkcja jest różniczkowalna w słabym sensie i wszystkie jej pochodne cząstkowe (kierunkowe) są ciągłe, to funkcja jest różniczkowalna w silnym sensie w sposób ciągły (tzn. jest klasy  ). Oba rodzaje pochodnych mają wiele własności pochodnej funkcji rzeczywistej, np. liniowość, czy zachodzenie reguły łańcuchowej. Bezpośrednie generalizacje pojęć pochodnych w słabym/silnym sensie, tj. pochodne Gâteaux/Frécheta, opisano w Uogólnieniach.

Przegląd stosowanych oznaczeńEdytuj

 
Przez długie lata Leibniz wiódł spór z Newtonem o pierwszeństwo odkrycia rachunku różniczkowego.
 
Prace Lagrange’a miały wielki wpływ na Cauchy’ego, Jacobiego i Weierstrassa uważanych za twórców współczesnej analizy matematycznej.
 
Isaac Newton, jeden z twórców rachunku różniczkowego; pochodną nazywał on fluksją, zmienną zaś fluentą.
 
Leonhard Euler połączył rachunek różniczkowy Leibniza z metodą fluksji Newtona, dając duży wkład w rozwój tej teorii.
Notacja Leibniza

Jednym z najwcześniejszych sposobów zapisu jest ten pochodzący od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, w której pochodną funkcji   względem zmiennej   oznacza się za pomocą ułamka

 

Niegdyś pochodną interpretowano jako iloraz różniczek zmiennych zależnej i niezależnej: różniczki funkcji   i różniczki   choć dziś to różniczkę definiuje się za pomocą pochodnej,   w skrócie   co prowadzi bezpośrednio do powyższej notacji. Mimo wszystko operowanie różniczkami w przedstawiony sposób wymaga uwagi ze względu na możliwość wyciągnięcia błędnych wniosków w ich wyniku, dlatego dziś oznaczenia te traktuje się zwykle jako napisy formalne, nierozerwalną całość.

Wyrażenie   można uważać za operator brania pochodnej działający na funkcji   co znajduje odzwierciedlenie we drugim ze wzorów, dzięki czemu drugą pochodną można zapisać jako

 

przy czym wyrażenie   w mianowniku przyjęto traktować jako całość, dzięki czemu można pominąć nawias przy „potęgowaniu”,

 

dla pochodnej  -tego rzędu.

Do powyższych napisów dodaje się często argument funkcji   czy też jej funkcji pochodnej, stąd spotyka się również napisy postaci

 

i analogicznie dla pochodnych wyższego rzędu. Notacja ta służy czasami oznaczeniu pochodnej funkcji   w punkcie   (symbol   w nawiasach zamienia się wtedy na  ), jednak może on sugerować, iż   jest argumentem funkcji   Drugim sposobem oznaczania pochodnej w punkcie jest

 

i analogiczne jw. napisy z różnymi pozycjami funkcji   jej argumentu i rzędami.

Zapis Leibniza wskazuje w mianowniku zmienną różniczkowania – nabiera to znaczenia w pochodnych cząstkowych i pomaga zapamiętać regułę łańcuchową,

 

twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej,

 

czy wzór na całkowanie przez części,

 
Notacja Lagrange’a

Notacja używana w tym artykule pochodzi od Josepha Louisa Lagrange’a, wykorzystuje się w niej symbole prim «′», bis «″» i ter «‴» (nie należy ich mylić z cudzysłowami, czy apostrofami) w indeksie górnym po oznaczeniu funkcji, np.

 

Czwartą pochodną oznacza się jeszcze niekiedy symbolem quater «⁗», jednak zwykle począwszy od czwartej w miejscu poprzednich umieszcza się liczby w rzymskim systemie ich zapisywania, np.

 

bądź liczby arabskie w nawiasie,

 

co umożliwia oznaczenie  -tej pochodnej jako   co ułatwia opis funkcji pochodnej (w powyższych napisach dodaje się argument funkcji po oznaczeniu pochodnej). Ta notacja jest używana do opisu szeregów nieskończonych, takich jak szeregu Taylora.

Notacja Newtona

Notacja Isaaca Newtona wykorzystuje kropkę umieszczoną nad nazwą funkcji, która w domyśle jest funkcją argumentu czasowego, zwyczajowo oznaczanego literą   częstokroć wykorzystuje się ją do zapisu równań różniczkowych i ich zastosowaniach fizycznych, np. do opisu położenia   jako funkcji   z ukrytym parametrem czasowym  

Pierwsze dwie pochodne funkcji   (względem  ) zapisuje się wtedy symbolami

 

przy czym niekiedy dodaje się kolejne kropki i choć notacja nie spełnia należycie swej roli przy pochodnych wyższych rzędu, to w praktyce przydatnych jest tylko kilka rzędów pochodnych.

Notacja Eulera

Pochodząca od Leonharda Eulera notacja wykorzystuje symbol operatora różniczkowego   który zastosowany do funkcji   daje jej pierwszą pochodną   drugą oznacza się w naturalny sposób   a  -tą za pomocą symbolu   Jest ona wygodna do opisu zadania i rozwiązania liniowych równań różniczkowych.

Funkcje wielu zmiennych

W przypadku funkcji wielu zmiennych można korzystać z każdej z powyższych notacji, choć zwykle unika się sposobu zapisu pochodzącego od Newtona. Zapis pochodnych cząstkowych wymaga wskazania zmiennych różniczkowania i ich kolejności (co czyni się często, wypisując je w indeksie dolnym), np. dla funkcji   jej (mieszana) pochodna cząstkowa czwartego rzędu wzięta względem zmiennej   następnie względem   potem względem   i raz jeszcze względem   może być oznaczona symbolami

 

Popularna jest też notacja pochodząca od Adriena-Marie Legendre’a i rozpropagowaną przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego, naśladująca niejako symbolikę Leibniza, w której korzysta się z symbolu zamiast litery   co ma na celu podkreślenie innej natury tych obiektów, np.

 

Z symbolu tego korzysta się również do oznaczania macierzy Jacobiego (lub jej wyznacznika, tzw. jakobianu, jeśli jest kwadratowa); np. dla funkcji   gdzie   oraz   jest to

 

UogólnieniaEdytuj

Wzięcie granic jednostronnych w danym punkcie w definicji pochodnej funkcji   nazywa się pochodnymi jednostronnymi; dalsze osłabienie definicji poprzez branie granic dolnych i górnych daje tzw. pochodne Diniego.

Subpochodna i subróżniczka (podpochodna i podróżniczka) to uogólnienie pochodnej na funkcje wypukłe – opisują one wszystkie styczne w danym punkcie wykresu wspomnianych funkcji, przez to nie są one liczbami, lecz ich zbiorami.

W przypadku liczb zespolonych   definicje pochodnych dla funkcji   przenoszą się bez zmian na funkcje   pochodną takiej funkcji nazywa pochodną zespoloną. Zasadniczą różnicą między pochodnymi tych dwóch rodzajów funkcji jest fakt, iż funkcje holomorficzne, czyli funkcje zespolone mające pochodną zespoloną w pewnym zbiorze otwartym, są w nim analityczne (zob. Pochodne pochodnych). Jako przestrzenie liniowe równego wymiaru   oraz   mają tę samą strukturę (są izomorficzne nad  ), jednakże   jest bogatsza o operacje mnożenia i dzielenia przez wektory (jest algebrą, a nawet ciałem). Dzięki temu pochodną zespoloną na   można traktować jako wzmocniony wariant mocnej pochodnej na   warunkiem koniecznym i dostatecznym zgodności tych pojęć są równania Cauchy’ego-Riemanna, czyli wymaganie, by pochodna w sensie rzeczywistym opisywała liczbę zespoloną (macierz Jacobiego reprezentowała liczbę zespoloną, zob. równokątność różniczki zespolonej), zaś różniczka – mnożenie przez nią, a nie tylko dowolne przekształcenie liniowe.

Pochodna Frécheta jest bezpośrednim uogólnieniem pojęcia pochodnej w silnym sensie funkcji wielu zmiennych na unormowane przestrzenie liniowe, z kolei pochodna Gâteaux uogólnia pochodną w słabym sensie na jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (przykładami obu są np. przestrzenie Banacha), w szczególności pokrywają się ona z odpowiednio pochodnymi w silnym i słabym sensie dla przestrzeni współrzędnych.

Odpowiednikiem pochodnej w silnym sensie dla funkcji między rozmaitościami różniczkowymi jest odwzorowanie styczne będące odwzorowaniem między przestrzeniami stycznymi ustalonego punktu i jego obrazu[21] – jest to możliwe dzięki zapisaniu przestrzeni stycznych w ustalonej bazie, tzn. wyrażeniu ich za pomocą izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych, gdzie zdefiniowana jest pochodna w silnym sensie[22]. Rolę funkcji pochodnej pełni w tym wypadku odpowiednia funkcja między wiązkami stycznymi (w przypadku funkcji między unormowanymi przestrzeniami liniowymi ich przestrzenie styczne pokrywają się z tymi przestrzeniami, a wiązka styczna jest trywialna).

Kolejne pochodne nie są przekształceniami liniowymi (muszą opisywać geometrię, której nie da się opisać za pomocą struktur liniowych), nie są określone między wiązkami stycznymi (zawierają one informację o danej przestrzeni i pochodnych kierunkowych), a ponadto nie uzyskuje się ich poprzez branie pochodnej funkcji pochodnych niższego rzędu. Ich analogonem są tzw. strumienie (dżety) oraz ich wiązki. Związek między pochodną zupełną i cząstkowymi funkcji znajduje odzwierciedlenie w związku strumienia  -tego rzędu funkcji z jego pochodnymi cząstkowymi rzędu nie mniejszego niż  

Dla wielomianu bądź szeregu możliwe jest zdefiniowanie pochodnej bez odwoływania się do pojęcia granicy, korzystając jedynie ze wzoru, który uzyskuje się w analizie z podanej w tym artykule definicji – nazywa się ją pochodną formalną; definicja ta umożliwia uprawianie dużej części analizy w oparciu o algebrę bez odwoływania się do topologii.

Rozszerzeniem pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne (a więc nawet niekoniecznie ciągłe) jest tzw. słaba pochodna, której idea opiera się na metodzie całkowania przez części – nie są one wyznaczone jednoznacznie[23]; znajduje ona przede wszystkim zastosowanie przy poszukiwaniu tzw. słabych rozwiązywań równań różniczkowych cząstkowych.

W teorii miary rozpatruje się tzw. pochodną Radona-Nikodýma, która opisuje prędkość zmian gęstości jednej miary względem innej zupełnie analogicznie jak ma to miejsce w przypadku z wyznacznika macierzy Jacobiego dla funkcji wielowymiarowych (zob. Pochodne zupełne).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Jeżeli   to wprost z definicji zachodzi  
  2. Skoro
     
    to biorąc obustronnie granicę przy   uzyskuje się wynik.
  3. Podany wzór zachodzi dla liczby naturalnej   wzór na pochodną odwrotności funkcji umożliwia rozszerzenie wzoru na wykładniki całkowite   z ciągłości wzór jest prawdziwy dla liczby rzeczywistej  
  4. Z definicji, jeśli   to
     
    przy czym ostatnia granica jest własnością funkcji wykładniczej.
  5. Ponieważ
     
    to podstawiając   otrzymuje się dalej
     
    Z reguły ilorazu jest  
  6. Z tożsamości trygonometrycznych (ostatnie również z reguły ilorazu):
     
     
     
  7. Niech   wtedy też   Wówczas z reguły o pochodnej funkcji odwrotnej jest
     
    Znak pierwiastka jest dodatni, gdyż   z ostatniej równości jest   Analogicznie dla   oraz   przy czym tym razem znak pierwiastka jest ujemny, bo   przez co   Podobnie dla   jest   oraz   skąd
     

PrzypisyEdytuj

  1. a b Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów. T. 1. PWN, 1983, s. 107., 4.5-1 (a).
  2. Istnienie takiego otoczenia oznacza istnienie pewnej liczby rzeczywistej   że funkcja jest określona na przedziale  
  3. Kuratowski K.: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Wyd. 3. PWN, 1967, s. 101. Taki sposób zapisu uwypukla fakt, że iloraz różnicowy jest funkcją  
  4. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 145. (ros.)
  5. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 126.
  6. Kane J.W., Sternheim M.M.: Fizyka dla przyrodników. T. 2. PWN, 1988, s. 204. ISBN 83-01-07418-3.
  7. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 126–127.
  8. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А.: Теория вероятностей. Наука, 1987, s. 33.
  9. Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 127.
  10. Бугров, Никольский, op. cit., s. 140–141.
  11. Бугров, Никольский, op. cit., s. 142.
  12. Бугров, Никольский, op. cit., s. 143–144.
  13. Przykład opracowany według podanego w: Бугров, Никольский, op. cit., s. 144.
  14. Fichtenholtz, op. cit., s. 236–237.
  15. Fichtenholtz, op. cit., s. 171.
  16. a b Fichtenholtz, op. cit., s. 241–242.
  17. Бугров, Никольский, op. cit., s. 186–187.
  18. Pochodną/różniczkę w słabym sensie nazywa się czasem „słabymi”, jednakże należy ją odróżnić od opisywanej w Uogólnieniach tzw. słabej pochodnej.
  19. Pochodną w mocnym sensie nazywa się również „mocną” lub „silną” pochodną, a samą funkcję – różniczkowalną w mocnym/silnym sensie; często jednak mówi się po prostu o „pochodnej”, „różniczce” i „różniczkowalności”.
  20. Często w powyższej definicji, pomijając oznaczenie punktu   w indeksie dolnym, zamiast   pisze się   gdzie   jest macierzą typu   przekształcenia   zaś   jest wektorem kolumnowym (tj. macierzą jednokolumnową); przyjmując naturalną strukturę danej przestrzeni liniowej jako przestrzeni afinicznej nad sobą, utożsamia się również punkt   z odpowiadającym mu, zwykle kolumnowym, wektorem   (zob. przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych). Ogólna definicja różni się od przedstawionej rezygnacją z wyróżnionej bazy oraz wyborem dowolnej normy wektorów (tj. zamiast   bierze się dowolne przestrzenie liniowe   które muszą być unormowane); tak określoną pochodną nazywa się wtedy „pochodną Frechéta” (zob. Uogólnienia).
  21. Pojęciem dualnym jest odwzorowanie kostyczne między przestrzeniami kostycznymi.
  22. Pochodną w silnym sensie można zastąpić pochodną Frécheta, gdyż przestrzenie styczne są przestrzeniami liniowymi, dla których można otrzymać niezbędne struktury z izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych – ten poniekąd zbędny krok jest zwykle pomijany.
  23. Są one „równe prawie wszędzie”, tj. są zdefiniowane z dokładnością do zbiorów miary zero, poza którymi są równe.

BibliografiaEdytuj

  • Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów. T. 1. PWN, 1983.
  • Kuratowski K.: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. PWN, 1967.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984.
  • Kane J.W., Sternheim M.M.: Fizyka dla przyrodników. T. 2. PWN, 1988.
  • Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А.: Теория вероятностей. Наука, 1987.