Otwórz menu główne

Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennej oznacza się symbolami

Symbol pochodnej cząstkowej [a] ma wygląd zaokrąglonej litery „d”. Notacja ta, użyta po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”[1].

Tradycyjnie mówi się, że notacja pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.

WprowadzenieEdytuj

 
Wykres funkcji  
 
Wartość z w zależności od x, dla y=1  

Niech   będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

 

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny   czy  

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w   która jest równoległa do płaszczyzny   należy traktować zmienną   jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie   Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że   jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji   w punkcie   którym jest

 

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie   wynosi   Dlatego

 

w punkcie   Innymi słowy pochodna cząstkowa   względem   w punkcie   jest równa  

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej   i dane będą punkt   oraz funkcja  

Jeżeli istnieje skończona granica

 

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji   w punkcie   względem zmiennej   i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek ze „zwykłą” pochodnąEdytuj

Jeżeli oznaczyć   to

 

jest po prostu pochodną   funkcji  

Na przykład dla funkcji

 

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

 
 

Pochodne wyższych rzędówEdytuj

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

 
 

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

 
 

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

 

jest pochodną rzędu  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Kod HTML: ∂ lub ∂, unikod: U+2202.

PrzypisyEdytuj

  1. Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus (ang.). jeff560.tripod.com, 2009-06-14. [dostęp 2016-02-09].

BibliografiaEdytuj

  • Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10.