Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowanotacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowaEdytuj

Wielowskaźnik  -wymiarowy to wektor

 

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników   oraz   określa się:

  • sumę i różnicę (po współrzędnych),
     
  • porządek częściowy,
     
  • sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),
     
  • silnię,
     
  • symbol Newtona,
     
  • potęgę,
     
  • pochodną cząstkową wyższych rzędów,
      gdzie  

Niektóre zastosowaniaEdytuj

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianieEdytuj

 

Wzór LeibnizaEdytuj

Dla funkcji gładkich   i  

 

Szereg TayloraEdytuj

Dla funkcji analitycznej   o   zmiennych jest

 

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

 

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

 

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaciEdytuj

Operator różniczki cząstkowej  -tego rzędu   zmiennych zapisuje się formalnie jako

 

Całkowanie przez częściEdytuj

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie   jest

 

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenieEdytuj

Jeżeli   są wielowskaźnikami, a   to

 

DowódEdytuj

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli   wtedy

 

Załóżmy, że       Wtedy

 

Dla każdego   funkcja   zależy wyłącznie od   Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe   redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego   Stąd z równania (1) wynika, że   znika, jeśli   dla przynajmniej jednego   W przeciwnym wypadku, tzn. gdy   jako wielowskaźniki, wtedy

 

dla każdego   skąd wynika twierdzenie.

BibliografiaEdytuj

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. ​ISBN 0-8493-7158-9​.