edytuj
Wielowskaźnik
n
{\displaystyle n}
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}
nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników
α
,
β
∈
N
0
n
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
sumę i różnicę (po współrzędnych ),
α
±
β
=
(
α
1
±
β
1
,
α
2
±
β
2
,
…
,
α
n
±
β
n
)
;
{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\dots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});}
porządek częściowy ,
α
⩽
β
⟺
α
i
⩽
β
i
∀
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
;
{\displaystyle \alpha \leqslant \beta \iff \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\qquad \forall _{i\in \{1,\dots ,n\}};}
sumę współrzędnych (wartość bezwzględną ),
|
α
|
=
α
1
+
α
2
+
…
+
α
n
;
{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n};}
silnię ,
α
!
=
α
1
!
⋅
α
2
!
…
α
n
!
;
{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!;}
symbol Newtona ,
(
α
β
)
=
(
α
1
β
1
)
(
α
2
β
2
)
…
(
α
n
β
n
)
;
{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};}
potęgę ,
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
…
x
n
α
n
;
{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};}
pochodną cząstkową wyższych rzędów,
∂
α
=
∂
1
α
1
∂
2
α
2
…
∂
n
α
n
,
{\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}
∂
i
α
i
:=
∂
α
i
∂
x
i
α
i
.
{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:={\tfrac {\partial ^{\alpha _{i}}}{\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}}.}
Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
k
=
∑
|
α
|
=
k
k
!
α
!
x
α
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}~{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }}
Dla funkcji gładkich
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
∂
α
(
f
g
)
=
∑
ν
⩽
α
(
α
ν
)
∂
ν
f
∂
α
−
ν
g
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
Dla funkcji analitycznej
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
f
(
x
+
h
)
=
∑
α
∈
N
0
n
∂
α
f
(
x
)
α
!
h
α
.
{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}
Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora
f
(
x
+
h
)
=
∑
|
α
|
⩽
n
∂
α
f
(
x
)
α
!
h
α
+
R
n
(
x
,
h
)
,
{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}~{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}
gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się
R
n
(
x
,
h
)
=
(
n
+
1
)
∑
|
α
|
=
n
+
1
h
α
α
!
∫
0
1
(
1
−
t
)
n
∂
α
f
(
x
+
t
h
)
d
t
.
{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}~{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int \limits _{0}^{1}~{(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt}.}
Operator różniczki cząstkowej
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
P
(
∂
)
=
∑
|
α
|
⩽
N
a
α
(
x
)
∂
α
.
{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leqslant N}~{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}
Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
∫
Ω
u
(
∂
α
v
)
d
x
=
(
−
1
)
|
α
|
∫
Ω
(
∂
α
u
)
v
d
x
.
{\displaystyle \int \limits _{\Omega }~{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{\Omega }~{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}
Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych .
edytuj
Jeżeli
α
,
β
∈
N
0
n
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}),}
∂
α
x
β
=
{
β
!
(
β
−
α
)
!
x
β
−
α
,
gdy
α
⩽
β
,
0
w p.p.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}}
Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej ; jeżeli
α
,
β
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
,
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \{0,1,2,\dots \},}
d
α
d
x
α
x
β
=
{
β
!
(
β
−
α
)
!
x
β
−
α
,
gdy
α
⩽
β
,
0
w p.p.
(
1
)
{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}\qquad (1)}
Załóżmy, że
α
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
,
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),}
β
=
(
β
1
,
…
,
β
n
)
,
{\displaystyle \beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n}),}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}
∂
α
x
β
=
∂
|
α
|
∂
x
1
α
1
…
∂
x
n
α
n
x
1
β
1
…
x
n
β
n
=
∂
α
1
∂
x
1
α
1
x
1
β
1
…
∂
α
n
∂
x
n
α
n
x
n
β
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots x_{n}^{\beta _{n}}\\[1ex]&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}
Dla każdego
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\},}
x
i
β
i
{\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}
x
i
.
{\displaystyle x_{i}.}
∂
∂
x
i
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}
d
d
x
i
.
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx_{i}}}.}
∂
α
x
β
{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}
α
i
>
β
i
{\displaystyle \alpha _{i}>\beta _{i}}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}.}
α
⩽
β
{\displaystyle \alpha \leqslant \beta }
d
α
i
d
x
i
α
i
x
i
β
i
=
β
i
!
(
β
i
−
α
i
)
!
x
i
β
i
−
α
i
{\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}
dla każdego
i
,
{\displaystyle i,}
Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators . Rozdział 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots x_{n}^{\beta _{n}}\\[1ex]&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11dbe917498ed734060e62444f132cd36366598)
