Otwórz menu główne

Działanie określone punktowodziałanie zdefiniowane na funkcjach należących do tej samej przestrzeni funkcyjnej, takie że definicja podaje sposób obliczenia wyniku działania poprzez odwołanie się do wartości funkcji obliczonych w punktach dziedziny tych funkcji. Przykładami działań określonych punktowo są działania dodawania funkcji, mnożenia funkcji przez siebie, mnożenie funkcji przez skalar (patrz niżej).

Działania określone punktowo na funkcjach dziedziczą własności działania określonego w przeciwdziedzinie tych funkcji, np. łączność, przemienność, rozdzielność itp. W ogólności, jeśli przeciwdziedzina funkcji tworzy pewną strukturę algebraiczną, to w ich przestrzeni funkcyjnej można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Przykłady: Działania określone punktowoEdytuj

Działaniami określonymi punktowo są poniżej zdefiniowane działania.

Niech   będą funkcjami z dziedziny   w zbiór liczb rzeczywistych   (w szczególności   jeśli   funkcje mogą być ciągami czy szeregami).

(1) Dodawanie funkcji: sumą funkcji   nazywa się funkcję   taką że dla wszystkich   jest

 

Wtedy pisze się  

(2) Mnożenie funkcji: iloczynem funkcji   nazywa się funkcję   taką że dla wszystkich   jest

 

Wtedy pisze się  

(3) Mnożenie funkcji przez skalar: iloczynem funkcji   przez liczbę   nazywa się funkcję   taką że dla wszystkich   jest

 

Wtedy pisze się  

Własności działań w przestrzeni funkcyjnejEdytuj

Własności działań określonych punktowo przenoszą się na własności działań w przestrzeni funkcyjnej. Np. jeżeli dodawanie określone punktowo na funkcjach   jest przemienne w przeciwdziedzinie   to przemienne jest dodawanie tych funkcji, określone w ich przestrzeni funkcyjnej. Tzn.

(1) Dodawanie funkcji   jest przemienne ze względu na dodawane, jeżeli dla wszystkich   jest

 

Wtedy pisze się  

Podobnie stwierdzenia dotyczą innych działań określonych punktowo, np. mnożenia funkcji przez siebie, mnożenia funkcji przez skalar.

(2) Mnożenie funkcji   jest przemienne jeżeli dla wszystkich   jest

 

Wtedy pisze się  

(3) Mnożenie funkcji   przez liczbę   jest przemienne, jeżeli dla wszystkich   jest

 

Wtedy pisze się  

Także, jeżeli działania określone punktowo są rozdzielne względem dodawania/łączne, to rozdzielne względem dodawania/łączne będą działania określone na tych funkcjach w przestrzeni funkcyjnej.

Działania nie określone punktowoEdytuj

Działania nie określone punktowo przypisują danym funkcjom   funkcję   w ten sposób, że wartości funkcji wynikowej   zależą od wartości funkcji   zadanych w większej liczbie punktów.

Przykład: Splot funkcjiEdytuj

Splot funkcji   określonych na zbiorze liczb rzeczywistych jest to funkcja   taka że jej wartości   oblicza się jako całkę z wartości funkcji   zadanych w całej dziedzinie liczb  

 

– przy tym dziedziną działania splotu jest zbiór funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a  

Działanie na wektorach określone po współrzędnych/po składowychEdytuj

Definicje współrzędnych i składowychEdytuj

Niech   oznacza ciało liczbowe,  liczba naturalna,   – pewien indeks.

Przestrzenią współrzędnych   nazywa się przestrzeń liniową utworzoną za pomocą iloczynu kartezjańskiego przestrzeni  

Jeżeli w przestrzeni   wprowadzi się bazę standardową   to

  • wektora   ma postać   przy czym   nazywa się jego  -tą współrzędną w tej bazie,
  • wektor   gdzie nazywa się  -tą składową wektora  

Działanie określone po współrzędnych/po składowychEdytuj

Działania na wektorach można definiować dwoma sposobami: odwołując się do współrzędnych lub odwołując się do składowych wektorów. Np. dodawanie wektorów  

(1) określone po współrzędnych jest wyrażone wzorem

 

czyli

 

(2) określone po składowych jest wyrażone wzorem

 

czyli

 

Funkcje współrzędnych/rzutowańEdytuj

(1) Przekształcenie   dane wzorem   nazywa się funkcją współrzędnych;   nazywa się współrzędną wektora.

(2) Przekształcenie   dane wzorem   nazywa się funkcją rzutowań;  nazywa się rzutem wektora.

Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem

 

W ten sposób dodawanie wektorów można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych/rzutowań:

 

Oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych/składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych/rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo/naturalnie” bądź „w naturalny/standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą, otrzymując działania określone po współrzędnych/składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej   nad ciałem  

Powyższe stwierdzenia obowiązują również dla   będącego pierścieniem, gdy   jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego   nad pierścieniem   Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

Relacja określona punktowoEdytuj

Zobacz też: częściowy porządek.

Częstą praktyką w teorii porządku jest definiowanie określonego punktowo porządku częściowego na funkcjach. Dla (częściowo) uporządkowanych zbiorów   zbiór funkcji   można uporządkować relacją   określoną dla każdego   wzorem   Porządki częściowe określone punktowo dziedziczą niektóre z własności zbiorów uporządkowanych, na których zostały zdefiniowane; przykładowo jeżeli  kratami ciągłymi, to zbiór funkcji   również jest kratą tego typu. Porządek określony punktowo umożliwia zwięzłe wprowadzenie innych ważnych pojęć, np.

  • operator domknięcia   na zbiorze uporządkowanym   to operator rzutu (tzn. monotoniczne idempotentne odwzorowanie tego zbioru w siebie) o dodatkowej własności  
  • podobnie operator rzutu   nazywa się operatorem jądra (bądź wnętrza), gdy  

symbol   oznacza wyżej funkcję tożsamościową na  

Przykładem nieskończonej relacji określonej punktowo jest zbieżność punktowa funkcji: ciąg   gdzie   zbiega punktowo do funkcji   (ozn.  ), jeżeli dla każdego   zachodzi

 

Zobacz teżEdytuj