Obwiednia

Obwiednia (ang. envelope) – matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny[1]. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nienależące do żadnego z członków.

Obwiednia powierzchni parametrycznejEdytuj

DefinicjaEdytuj

 
Obwiednia rodziny prostych

Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące  -wymiarową powierzchnię zanurzoną w  -wymiarowej przestrzeni w czasie  

 

Obwiednią E powierzchni p względem parametru   jest zbiór punktów spełniających warunek:

 

gdzie   jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni   w punkcie   Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach   (dla  ). Opisany warunek można zapisać:

 

Powierzchnia trójwymiarowaEdytuj

Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni   ma postać:

 

Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora   oraz wektora normalnego   do powierzchni p w punkcie  

 

gdzie   jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:

 

PrzykładEdytuj

 
Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste   oraz  

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem  

 

pochodne cząstkowe względem   i   wynoszą:

 
 

Równanie obwiedni ma zatem postać:

 

zaś samą obwiednię stanowią dwie proste   oraz   na płaszczyźnie OXY.

Obwiednia powierzchni impliciteEdytuj

DefinicjaEdytuj

Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni  -wymiarowej opisana równaniem:

 

gdzie     oraz   Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy   są punkty   dla których spełnione są:

 

PrzykładEdytuj

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:

 

Pochodna cząstkowa   względem   wynosi:

 

Równanie obwiedni ma zatem postać:

 

z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Obwiednia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29].

BibliografiaEdytuj

  • Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9, 1992.
  • Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover 2004.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Envelope, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).