Otwórz menu główne

Operator różniczkowyoperator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Np. operatorem różniczkowym jest operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą 1-szej i 2-giej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na które można działać danym operatorem. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Spis treści

PrzykładEdytuj

Operator różniczkowy   dany jest wzorem:

 

Funkcje, na które można działać operatorem   muszą być klasy   tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy  

Np. działając operatorem   na funkcję

 

otrzyma się

 

czyli

 

Własności operatora różniczkowegoEdytuj

Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

 
 

gdzie:

  – dane funkcje,
  – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego   też jest operatorem różniczkowym.

Operator różniczkowy nablaEdytuj

Współrzędne kartezjańskie 3-wymiaroweEdytuj

Operator nabla   we współrzędnych kartezjańskich ma postać

 

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób:

Czterowymiarowa czasoprzestrzeńEdytuj

Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne – analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

 

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

Operatory utworzone z operatora nablaEdytuj

  • dalambercjan – to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego
     
    lub
     

Zobacz teżEdytuj