Otwórz menu główne

Równanie Diraca – jedno z fundamentalnych równań relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku, słuszne dla cząstek o dowolnie wielkich energiach (tzw. cząstek relatywistycznych) o spinie 1/2 (fermiony, np. elektrony, kwarki), swobodnych i oddziałujących z polem elektromagnetycznym. Istnienie spinu wynika z samego żądania relatywistycznej niezmienniczości równania ruchu cząstek. Odpowiada równaniu Pauliego, które także zawiera spin cząstek, ale wprowadza go w sposób fenomenologiczny, niejako sztuczny, a jedynie dlatego, by otrzymać zgodność z doświadczeniem Sterna-Gerlacha (rozszerzając formalizm nierelatywistycznego równania Schrödingera).

Równanie Diraca jest równaniem macierzowym – de facto stanowi ono układ 4 równań ze względu na fakt, iż symbole gamma (lub alfa, beta), występujące w tym równaniu, są macierzami 4 × 4.

Równania Diraca zapisuje się w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej lub w tzw. obrazie Schrödingera. Ta ostatnia postać została najpierw wyprowadzona przez Diraca i jest stosowana ze względu na wygodę do wykonywania obliczeń, gdyż odróżnia współrzędne przestrzenne od współrzędnej czasowej.

Równanie Diraca zostało potwierdzone w odniesieniu do struktury subtelnej widma atomu wodoru, wykazując znakomitą zgodność z pomiarami. Przewiduje istnienie antycząstek. Niektóre jednak efekty, takie jak kreacja i anihilacja cząstek czy przesunięcie Lamba tłumaczy dopiero elektrodynamika kwantowa.

Spis treści

Macierze gamma Edytuj

Macierze gamma   to macierze zespolone 4 × 4 spełniające 16 reguł antykomutacyjnych w postaci

 

gdzie:

 
  – tzw. antykomutator,
  – elementy tensora metrycznego czasoprzestrzeni   np.   itd.,
  – macierz jednostkowa 4 × 4.

Powyższa reguła określająca macierze gamma wynika m.in. z wymagania, by spełnione było równanie Kleina-Gordona. Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego-Diraca ma postać:

 
 
   macierzami Pauliego, zaś   jest tu macierzą jednostkową 2 × 2.

Jawnie relatywistycznie niezmiennicza postać równania DiracaEdytuj

Znaczenie jawnie niezmienniczej postaciEdytuj

Równania Diraca zapisane w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej to taka postać równania Diraca, która formalnie nie odróżnia czasu od współrzędnych przestrzennych, ale: (1) traktuje czas i współrzędne przestrzenne położenia jako współrzędne czterowektora położenia cząstki w czasoprzestrzeni (2) nie wyróżnia pochodnej po czasie w stosunku do pochodnych po współrzędnych przestrzennych (pochodna po czasie jest elementem czterogradientu, którego pozostałymi trzema elementami są pochodne po współrzędnych przestrzennych). Równanie tak zapisane ma identyczną postać w dowolnym układzie inercjalnym (z jedyną zmianą, że zamiast współrzędnych   pojawią się współrzędne   właściwe dla innego układu).

Równanie cząstki swobodnejEdytuj

W zapisie jawnie relatywistycznie niezmienniczym równanie Diraca dla cząstki swobodnej ma postać

 

gdzie:

 
  – współrzędne punktu w czasoprzestrzeni,
  – element czterogradientu  
 macierze gamma Diraca, tj.  
  – masa cząstki (tzw. masa spoczynkowa),
 funkcja falowa o 4 składowych zespolonych, tzw. bispinor Diraca,
 jednostka urojona,
 stała Plancka podzielona przez  
  – prędkość światła.

Równanie cząstki oddziałującej z polem elektromagnetycznymEdytuj

Jeżeli cząstka nie jest swobodna, ale oddziałuje z zewnętrznym polem elektromagnetycznym, to równanie Diraca przyjmuje postać

 

gdzie:

  – ładunek cząstki,
  – potencjał wektorowy pola zapisany jako czterowektor kowariantny.

Formalnie równanie to można otrzymać z równania Diraca cząstki swobodnej dokonując podstawienia (tzw. reguły Jordana)

 

Funkcja falowa Edytuj

Funkcja falowa   zwana bispinorem Diraca, jest funkcją o 4 składowych zespolonych; zapisuje się ją w postaci kolumny

 

przy czym   oznacza położenie cząstki w czasoprzestrzeni. Nazwa bi-spinor oznacza podwójny spinor. Spinor występuje w równaniu Pauliego, gdzie jest funkcją falową o 2 składnikach, opisujących 2 składowe spinowe (w równaniu Schrödingera funkcja falowa jest 1-składnikowa).

Interpretacja składowych bispinoraEdytuj

Jeżeli pęd jest skierowany w kierunku osi z, to dwie górne składowe bispinora są funkcjami falowymi cząstki:

  • jedna z nich opisuje składową spinu w kierunku zgodnym z wektorem zewnętrznego pola magnetycznego,
  • druga w kierunku przeciwnym.

Dwie dolne składowe odpowiadają analogicznym stanom spinowym antycząstki.

Dla innego skierowania pędu interpretacja taka nie jest jednak właściwa[1].

Bispinor   hermitowsko sprzężonyEdytuj

Definiuje się bispinor   hermitowsko sprzężony do bispinora   – przedstawia on wektor w postaci wiesza, którego elementami są sprzężenia zespolone składowych bispinora (przy czym   oznacza sprzężenie hermitowskie)

 

Gęstość prawdopodobieństwa w teorii DiracaEdytuj

Gęstość prawdopodobieństwa definiuje się analogicznie jak w teorii Schrödingera

 

W definicji gęstości prawdopodobieństwa dla równania Diraca istotna jest kolejność czynników:   musi być przed   gdyż występuje tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny, i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażeniu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).

Wykonując obliczenia otrzymamy

 

Wielkość   oznacza, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki materii w położeniu   jest sumą prawdopodobieństw znalezienia jej w postaci cząstki w stanach spinowych w górę lub w dół, lub w postaci antycząstki w stanach spinowych w górę lub w dół.

Trzeci rodzaj bispinora – bispinor  Edytuj

Prócz bispinorów   oraz   definiuje się bispinor   w postaci

 

Powyższy bispinor jest używany do wyrażenia prądów prawdopodobieństwa, odpowiadających relatywistycznie niezmienniczej postaci równania Diraca.

Równanie Diraca w obrazie SchrödingeraEdytuj

Obraz SchrödingeraEdytuj

Równanie Schrödingera ma postać

 

gdzie:

 

jest operatorem Hamiltona zależnym tylko od współrzędnych przestrzennych, zaś po prawej stronie równania występuje pochodna cząstkowa po czasie.

Dowolne równanie mechaniki kwantowej można zapisać w analogicznej postaci, tj. takiej że z jednej strony równania mamy operator Hamiltona, a z drugiej operator pochodnej czasowej. Taki zapis nazywa się obrazem Schrödingera (lub postacią Schrödingera).

Równanie Diraca w obrazie SchrödingeraEdytuj

Równanie Diraca można przekształcić do postaci w obrazie Schrödingera, wprowadzając macierze alfa i beta

 
 

Mnożąc obustronnie równanie Diraca podane w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej przez macierz   otrzymuje się równanie

 

gdzie:

  – prędkość światła,
  – wektor utworzony z macierzy alfa,
  – wektorowy operator pędu,
  – masa cząstki,
  – czteroskładnikowa funkcja falowa Diraca.

Operator

 

jest więc operatorem Hamiltona swobodnego, relatywistycznego fermionu o spinie 1/2, analogicznym do operatora Hamiltona cząstki swobodnej w równaniu Schrödingera. W równaniu Diraca operator Hamiltona ma postać operatora macierzowego 4 × 4, podczas gdy w równaniu Schrödingera wyraża się przez pojedynczy operator (1 × 1).

Równanie Diraca zapisane w obrazie Schrödingera nie jest jawnie relatywistycznie niezmiennicze, gdyż współrzędna czasowa jest tu wyróżniona. Zapis taki jest jednak wygodny do wykonywania obliczeń w konkretnym układzie odniesienia.

Rozwiązanie równania Diraca dla cząstki swobodnejEdytuj

Gdy cząstka jest swobodna, to funkcja falowa nie powinna zależeć od współrzędnych, czyli   co formalnie oznacza, że   i równanie Diraca przyjmuje postać[2]

 

Rozwiązania tego równania mają postać

 
 

Pierwsze odpowiada cząstce (np. elektronowi) o energii   drugie antycząstce (np. pozytonowi) także o energii  [2].

Równanie Diraca dla cząstki w polu el-mEdytuj

Jeżeli cząstka ma ładunek   i oddziałuje z polem elektromagnetycznym o potencjale skalarnym   i potencjale wektorowym   to operator Hamiltona w równaniu Diraca, zapisanym w obrazie Schrödingera, otrzymuje się, stosując podstawiania (tzw. reguły Jordana)

 
 

Operator Hamiltona przyjmuje postać

 

Pole traktuje się tu jako klasyczne pole Maxwella, tj. nie poddane tzw. procesowi drugiego kwantowania. Oznacza to, że nie uwzględnia się tu faktu, iż pole elektromagnetyczne występuje de facto w postaci kwantów energii, fotonów. Pominięcie tego jest uzasadnione wtedy, gdy pole ma dużą energię wobec energii cząstki.

Operator spinuEdytuj

Pokażemy, że operator spinu wynika w naturalny sposób z równania Diraca, tj. z samego faktu, iż równanie to ma postać relatywistycznie niezmienniczą. M.in. z tej racji równanie Diraca stanowi „klejnot fizyki”. (Dla porównania: Pauli wprowadził operator spinu w sposób fenomenologiczny, tj. zmodyfikował jedynie równania Schrödingera tak, by uzyskać zgodność opisu z wynikami eksperymentów, gdzie ujawnia się spin cząstek.)

Macierze sigma Diraca  Edytuj

 
    lub   macierzami Pauliego, zaś   jest macierzą zerową 2 × 2.

Macierz te mają wymiar 4 × 4. Przy czym zachodzą równości

 
 
 

Komutator hamiltonianu z operatorem momentu pęduEdytuj

Obliczamy komutator hamiltonianu   cząstki swobodnej z operatorem momentu pędu   gdzie

 

Np. dla składowej  

 

otrzymamy

 

Oznacza to, że moment pędu nie komutuje z hamiltonianem, nie jest więc zachowany (nie jest stałą ruchu).

Definicja operatora spinu DiracaEdytuj

Wektorowy operator spinu   definiuje się, żądając (1) operator całkowitego momentu pędu cząstki   (tj. suma operatora spinu Diraca i operatora orbitalnego momentu pędu  ) musi komutować z hamiltonianem równania Diraca dla cząstki swobodnej (jeżeli bowiem cząstka jest swobodna, to jej całkowity moment pędu musi być zachowany) (2) operator spinu Diraca musi spełniać odpowiednie reguły komutacyjne (dokładniej warunek ten omówiono niżej – patrz sekcja „Komutatory operatorów spinu  ”).

Mamy więc

 

oraz

(1)  
(2)    
gdzie  tensor zupełnie antysymetryczny.

Warunki (1) i (2) są spełnione, jeżeli składowe operatora spinu   mają postać

   

czyli:

 
 
 

Składowe operator spinu są więc w reprezentacji macierzowej macierzami 4 × 4, w odróżnieniu od składowych operatora spinu Pauliego, które są macierzami 2 × 2

   

Np.

 

Sens fizyczny operatora spinu DiracaEdytuj

Sens fizyczny każdej ze składowych operatora spinu jest analogiczny. Np. operator spinu Diraca   odpowiada pomiarowi składowej  -owej spinu cząstki – zgodnej z kierunkiem osi   lub przeciwnej do kierunku tej osi, oraz pomiarowi składowej spinu antycząstki zgodnej i przeciwnej do osi   (Dla porównania, operator spinu Pauliego   odpowiada tylko pomiarowi składowej  -owej spinu cząstki; równanie Pauliego nie przewiduje bowiem istnienia antycząstek.)

Kwadrat operatora spinu  Edytuj

Kwadrat operatora spinu Diraca ma postać:

 

Podstawiając wyrażenia na operatory   otrzymuje się:

 

gdzie   są macierzami 2 × 2, odpowiednio jednostkową i zerową, zaś   – macierz jednostkowa 4 × 4.

Pierwiastek ze średniej wartości   operatora   określa wartość mierzonego spinu, przy czym

 

Ponieważ wektor stanu jest z założenia unormowany, to   Stąd:

 

Powyższy wynik jest zgodny z ogólnym wzorem na długość wektora momentu pędu o liczbie spinowej  

 

przy czym dla   otrzymuje się wcześniej podany wynik.

Tak więc pomiar spinu na cząstce Diraca daje zawsze wartość spinu   przy czym mierzy się spin cząstki albo antycząstki.

Komutatory operatorów spinu  Edytuj

Z pomiarów wynika, że jest możliwe zmierzenie tylko jednej spośród trzech składowych wektora spinu. Z tej racji na operatory spinu   nakłada się reguły komutacyjne identyczne jak reguły komutacyjne operatorów momentu pędu   czy operatorów spinu Pauliego:

 
 
 

Operatory te nie komutują ze sobą (tzn. komutatory są  ), co odpowiada faktom eksperymentalnym, iż jest możliwe jednoczesne zmierzenie tylko jednej ze składowych spinu.

Komutatory operatorów   oraz  Edytuj

Z pomiarów wynika, że jest możliwe zmierzenie jednoczesne jednej spośród trzech składowych wektora spinu oraz całkowitej wartości spinu. Z tej racji na operatory spinu   muszą komutować z operatorem  

Podane wyżej operatory spełniają te reguły, gdyż operator   wyraża się przez macierz jednostkową, a w związku z tym komutuje z dowolną ze składowych spinu, np.

 

Komutatory operatorów   oraz hamiltonianuEdytuj

 
„Stożki wektorowe” momentów pędu: całkowitego J (fiolet), orbitalnego L (niebieski) i spinowego S (zielony). Stożki powstają na skutek nieoznaczoności kwantowej składowych tych momentów

(1) Operatory   komutują ze sobą, tj.

 

co oznacza, że jest możliwe zmierzenie jednoczesne wartości spinu oraz momentu pędu (operatory te działają w innych przestrzeniach Hilberta).

(2) Operatory   nie komutują z osobna z operatorem Hamiltona cząstki swobodnej

 
 

ale suma tych operatorów   komutuje, tj.

 

Oznacza to, że moment pędu orbitalny i spinowy cząstki swobodnej mogą zmieniać się w czasie, ale tak, że ich suma jest stała, przy czym każdy z wektorów z osobna może przyjąć w miarę dowolne położenie w przestrzeni – wektory te osobno nie są zachowane, bo nie komutują z hamiltonianem. Pokazane na rysunku stożki wektorowe uwidaczniają dobrze tę zależność: jeżeli wektor momentu pędu wykonuje precesję po stożku niebieskim, to wektor spinu musi odpowiednio zmienić swoje położenie na stożku zielonym tak, by sumaryczny wektor pozostał na stożku fioletowym.

Prawdopodobieństwa pomiaru spinu  Edytuj

Aby obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania w eksperymencie np. antycząstki ze spinem skierowanym w kierunku osi   rozkłada się bi-spinor Diraca (o postaci takiej, że odpowiada stanowi cząstki) w bazie wektorów własnych   operatora spinu   gdzie

 

(tzw. notacja Diraca), przy czym:

  – wektor własny operatora   odpowiadający pomiarowi spinu cząstki w kierunku  
  – wektor własny operatora   odpowiadający pomiarowi spinu cząstki w kierunku  
  – wektor własny operatora   odpowiadający pomiarowi spinu antycząstki w kierunku   itd.

Wtedy

  oraz np.
  – prawdopodobieństwo otrzymania wartości rzutu spinu w kierunku   dla antycząstki itp.

Analogicznie oblicza się prawdopodobieństwa uzyskania rzutów spinu przy pomiarze w kierunkach   oraz   (przy czym teraz trzeba rozłożyć bi-spinor Diraca w bazach wektorów własnych operatorów  ).

Średnia wartość pomiaru spinu  Edytuj

Średnią wartość pomiaru spinu   na cząstce opisanej stanem   oblicza się ze wzoru

 

przy czym minusy odpowiadają skierowaniu spinu cząstki i antycząstki w kierunku   a plusy w kierunku  

Operator spinu cząstki w polu el-m centralnymEdytuj

Jeżeli cząstka naładowana znajduje się w polu elektromagnetycznym centralnym (jak jest np. w przypadku atomu wodoru), to operator spinu jest identyczny z operatorem spinu cząstki swobodnej, tj.  

oraz

   

W polu centralnym bowiem całkowity moment pędu cząstki jest stały (jest to analogiczne do prawa zachowania momentu pędu w polu centralnym, znanym z fizyki klasycznej).

Fermiony MajoranyEdytuj

Cząstki spełniające równanie Diraca są fermionami. Jednak teoretycznie mogą istnieć inne fermiony, które nie spełniają równania Diraca – są to tzw. cząstki Majorany.

Lagranżjan DiracaEdytuj

Równanie Diraca i sprzężone równanie Diraca można otrzymać dokonując wariacji działania

 

w której gęstość lagranżjanu dana jest wzorem

 

Wariując działanie względem   otrzyma się równanie Diraca. Wariując działanie względem   otrzyma się sprzężone równanie Diraca.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Griffiths 1987 ↓, s. 221.
  2. a b Griffiths 1987 ↓, s. 217.

BibliografiaEdytuj

  • David J. Griffiths: Introduction to Elementary Particles. New York: Wiley-VCH, 1987. ISBN 978-3-527-40601-2. (pol.)
  • L.I. Schiff, Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw-Hill, 1968.

Linki zewnętrzneEdytuj