Równanie Pauliego

Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego w 1927 r. uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2 (np. elektronu, kwarku, atomu srebra itp.). Równanie to teoretycznie uzasadnia wynik eksperymentu Sterna-Gerlacha, który pokazał, że atomy srebra w postaci gazowej, przechodząc prostopadle do linii pola silnego magnesu, tworzyły dwie odseparowane wiązki – i to niezależnie od kierunku ustawienia pola magnetycznego względem wiązki wchodzącej do układu pomiarowego. Identyczne wyniki uzyskano dla innych cząstek o spinie 1/2. Według klasycznej fizyki oddziaływanie takie powinno prowadzić do w miarę jednorodnego rozmycia wiązki wzdłuż kierunku pola.

Równanie Pauliego jest równaniem nierelatywistycznym i wprowadza spin w sposób fenomenologiczny, tj. tak, by uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów. Odpowiednikiem równania Pauliego jest relatywistycznie niezmiennicze równanie Diraca, które uzasadnia istnienie spinu jako wymóg Lorentzowskiej niezmienniczości równań fizyki.

Hamiltonian cząstki bez spinu w polu el-mEdytuj

Hamiltonian równania Schrödingera dla cząstki o ładunku   i masie m oddziałującej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać:

 

gdzie:

 operator całkowitego pędu cząstki,
  oraz  potencjały wektorowy i skalarny pola el-m.

Równanie to opisuje poprawnie ruch w polu elektromagnetycznym cząstek, które nie posiadają spinu i własnego momentu magnetycznego.

Hamiltonian cząstki ze spinem w polu el-mEdytuj

Wektor operatorów macierzy sigmaEdytuj

Niektóre cząstki kwantowe posiadają obok ładunku także własny moment magnetyczny (np. elektrony, kwarki, niektóre atomy). Aby opisać oddziaływanie takich cząstek z polem el-m Pauli uzupełnił powyższy hamiltonian o wektor operatorów macierzowych

 

zbudowany z macierzy (zwanych macierzami Pauliego)

 

w następujący sposób:

 

gdzie:

  – macierz jednostkowa (działa jak operator identycznościowy)

znak   oznacza mnożenie skalarne wektorów (w tym wektorów, których składowe są operatorami, jak w tym wypadku).

Wykonując przekształcenia algebraiczne, powyższe równanie upraszcza się do postaci

 

gdzie   – wektor pola magnetycznego.

Wykorzystuje się przy tym tożsamość Pauliego:

 

gdzie   – dowolne wektory.

Uwaga: Często opuszcza się znak operatora   w zapisie równania Pauliego (i innych równań mechaniki kwantowej) – wtedy w zapisie hamiltonianu mamy formalnie sumę operatora macierzowego 2 × 2 i członu skalarnego – domyślnie jest on mnożony przez macierz jednostkową 2 × 2. W dalszej części artykułu znak   będzie opuszczany.

Operator spinowego momentu magnetycznegoEdytuj

Wprowadzenie operatora   do hamiltonianu oznacza uzupełnienie go o dodatkowy człon   który jest operatorem odpowiadającym klasycznej energii potencjalnej oddziaływania między magnetycznym momentem dipolowym   cząstki a zewnętrznym polem magnetycznym   W przypadku fizyki klasycznej energia ta ma postać

 

gdzie   – wektor momentu magnetycznego.

Można nadać analogiczną postać operatorowi energii w równaniu Pauliego, wprowadzając operator spinowego momentu magnetycznego

 

przy czym   oznacza wartość momentu magnetycznego

 

Operator Hamiltona przyjmie wtedy postać

 

Klasycznemu wektorowi momentu magnetycznego odpowiada więc w równaniu Pauliego wektorowy operator macierzowy 2 × 2 o postaci   ze względu na wektorowo-macierzową postać operatora   Hamiltonian ma więc tu postać macierzy 2 × 2.

Hamiltonian w takiej postaci gwarantuje, że rozwiązania równania Pauliego posiadają zawsze dwie wartości własne niezależnie od tego, jak przyjmie się osie układu współrzędnych w zapisie wektorów pola el-m (co spełnia wymóg, iż prawa fizyki powinny mieć formę niezależną od układu współrzędnych, w którym zapisze się je).

Równanie Pauliego zależne od czasuEdytuj

Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się, wstawiając powyżej opisany hamiltonian do równania Schrödingera zależnego od czasu, które ma postać

 

Stąd otrzymuje się równanie Pauliego

 

gdzie:

  – masa cząstki,
  – ładunek cząstki,
  – wektor położenia cząstki,
  – wektorowy operator pędu,
  – potencjał wektorowy pola el-m,
  – potencjał skalarny pola el-m,
  – wektorowy operator momentu magnetycznego,
  – wektor indukcji pola magnetycznego.

Rozwiązaniami oryginalnego równania Schrödingera są skalarne funkcje falowe   W równaniu Pauliego jest inaczej: ze względu na to, że hamiltonian ma tu postać macierzy 2 × 2, rozwiązaniami równania Pauliego są funkcje falowe w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinory):

 

gdzie:

  •   – funkcja falowa stanu spinowego cząstki „zgodnego” z kierunkiem pola   (stan   według notacji Diraca),
  •   – funkcja falowa stanu spinowego cząstki „przeciwnego” do pola (stan   według notacji Diraca).

Gęstość prawdopodobieństwaEdytuj

Znając funkcje falowe   oraz   łatwo obliczyć gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu   w chwili   w stanach spinowych   oraz  

 
 

gdzie  sprzężenie zespolone funkcji.

Wynik ten oznacza, że gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu   w stanie spinowym   oraz   będą zmieniać się w czasie.

Całkowitą gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu   w chwili   niezależnie od jej stanu spinowego powinna być równa sumie prawdopodobieństw znalezienia cząstki w tym położeniu w stanie spinowym   oraz w stanie spinowym   Aby uzyskać taki wynik trzeba przyjąć definicję nieco inną niż powyższe definicje  

 

gdzie:

  – tzw. sprzężenie hermitowskie wektora  

W definicji istotna jest kolejność czynników:   musi być przed   gdyż mamy tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażeniu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).

Wykonując obliczenia, otrzymuje się

 

W ogólnym przypadku powyższa gęstość prawdopodobieństwa będzie zależeć od czasu (np. gdy elektron znajduje się w polu elektromagnetycznym zmieniającym się w czasie).

Równanie Pauliego niezależne od czasuEdytuj

W przypadku procesów stacjonarnych, tzn. gdy energia cząstki nie ulega zmianie w czasie (np. ruch elektronu w stałych polach magnetycznym lub elektrycznym), równanie Pauliego upraszcza się do tzw. postaci niezależnej od czasu

 

gdzie:

  – stała energia cząstki,
  – część funkcji falowej zależna tylko od zmiennych przestrzennych.

W równaniu tym zamiast operatora różniczkowania po czasie pojawia się stała   Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia możliwych (dozwolonych) i stałych w czasie wartości energii   oraz odpowiadających im funkcji własnych hamiltonianu

 

zaś funkcje falowe będące rozwiązaniami równania Pauliego zależnego od czasu mają teraz postać iloczynu

 

Wykonując obliczenia gęstości prawdopodobieństw, otrzymuje się

 
 
 

Równanie Pauliego a eksperymentyEdytuj

Równanie Pauliego można zapisać w postaci

 

Pierwszy człon po lewej odpowiada za oddziaływanie cząstki naładowanej nie posiadającej spinu z polem elektromagnetycznym, zaś drugi człon odpowiada za oddziaływanie spinu z polem magnetycznym. Widać stąd, że:

Jeżeli   to drugi człon znika i równanie Pauliego sprowadza się do równania Schrödingera.

Na podstawie drugiego członu równania Pauliego wyjaśniono teoretycznie:

  • doświadczenie Sterna-Gerlacha – atomy srebra mające na powłoce walencyjnej niesparowane elektrony przyjmują dwa stany spinowe – zgodnie z polem magnetycznym lub przeciwnie, co powoduje rozszczepienie wiązki atomów na dwie, gdy przechodzi przez silne, niejednorodne pole magnetyczne
  • anomalny efekt Zemana – tu drugi człon równania Pauliego odpowiada za rozszczepienie poziomów energetycznych elektronów w atomach/cząsteczkach, z powodu oddziaływania spinów elektronowych z zewnętrznym polem magnetycznym; na skutek tego następuje rozszczepienie linii widmowych

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.