Otwórz menu główne
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „rzut ortogonalny”. Zobacz też: rzut prostokątny w geometrii elementarnej.

Rzut lub projekcja[a] – uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

Rzuty/projekcje ortogonalne są uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej (zob. osobna sekcja); w przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) są to ni mniej, ni więcej operatory samosprzężone.

Rzut ukośnyEdytuj

 
Rzut   wzdłuż prostej   na prostą  

Niech dana będzie przestrzeń liniowa   (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe   tej przestrzeni w siebie spełniające warunek idempotentności

 

czyli   dla każdego   nazywa się rzutem (ukośnym) lub projekcją.

Odwzorowanie   można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor   można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy   gdzie   oraz  [b]. Oznacza to, że   czyli   jest sumą prostą jądra i obrazu   Jeżeli   jest skończeniewymiarowa, zaś   jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut   dla którego   (jeśli   to rzutów określonych na   o obrazie   jest nieskończenie wiele).

Dla danych podprzestrzeni   przestrzeni   spełniających   przekształcenie   nazywa się rzutem na   wzdłuż   jeśli dla każdego   zachodzi

  oraz  

Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu   jest równe  [c]; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazu[d]. Z drugiej strony, jeśli przekształcenie   ma widmo   i jest diagonalizowalne, to   jest rzutem[e].

Jeśli   jest rzutem na   wzdłuż   to przekształcenie   dane wzorem   jest rzutem na   wzdłuż  [f]. Tym samym rozkładowi   odpowiada para rzutów  

Rzut ortogonalnyEdytuj

 
Rzut ortogonalny   na prostą  

Jeżeli   jest rzutem (ukośnym) na   wzdłuż   oraz   jest ortogonalną sumą prostą, to   nazywa się rzutem ortogonalnym (na   wzdłuż  ). Wówczas   jest dopełnieniem ortogonalnym   czyli zachodzi   a więc   gdyż wtedy   gdzie   oraz   oznaczają odpowiednio obraz i jądro rzutu  

Konstrukcja ortogonalnej sumy prostej wymaga istnienia (niezdegenerowanej) symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni (tzw. przestrzeń ortogonalna): zwykle rozważa się przestrzenie z iloczynem skalarnym (tzw. przestrzenie unitarne); w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru zakłada się dodatkowo zupełność, co sprawia, że przestrzeń unitarna   staje się przestrzenią Hilberta – istnienie zapewnia wtedy twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W tym kontekście rzut ukośny nazywa się operatorem idempotentnym, a rzut ortogonalny znany jest jako operator rzutowy.

Rzut jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest i) samosprzężony[g] lub ii) normalny lub iii) dodatni (dodatnio określony) lub iv) izometryczny. Rzuty ortogonalne są operatorami ograniczonymi (czyli ciągłymi), a gdy są nietrywialne: o jednostkowej normie operatorowej[h]; z drugiej strony ograniczony (równoważnie: ciągły) operator liniowy   na przestrzeni Hilberta jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy  

Gdy rozważana przestrzeń jest zespolona, gwiazdkę przy oznaczeniu macierzy należy interpretować jako sprzężenie hermitowskie, w pozostałych przypadkach – jako transpozycję; w przypadku przekształceń gwiazdka oznacza (antyliniowe) przekształcenie sprzężone do danego.

Jeśli   jest bazą ortonormalną podprzestrzeni   zaś   oznacza macierz typu   której kolumnami są   to macierz rzutu ortogonalnego dana jest wzorem

 

i reprezentuje ona przekształcenie, które można zapisać jako[i]

 

W szczególności rzut na prostą (przestrzeń jednowymiarową) rozpinaną przez wektor jednostkowy   dany jest wzorem   a jego macierz ma postać  [j].

Macierz   reprezentuje izometrię częściową   która znika na dopełnieniu ortogonalnym podprzestrzeni   zaś   jest izometrią, która zanurza   w przestrzeń  

Warunek ortonormalności można opuścić; jeżeli   jest bazą (niekoniecznie ortonormalną), a macierz   zawiera te wektory jako kolumny, to rzut ma postać[k]

 

Reprezentowane przez tę macierz przekształcenie nadal zanurza   w przestrzeń   jednak nie musi być już izometrią.

PrzykładyEdytuj

  • Przekształcenie liniowe, którego macierz ma postać   jest rzutem ortogonalnym, podczas gdy zadane macierzą   jest rzutem (ukośnym), ale nie ortogonalnym (pierwsza macierz opisuje operator rzutowy, druga – tylko idempotentny).
  • Przestrzeń   funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesgue’a) jest ortogonalną sumą prostą przestrzeni   funkcji parzystych i nieparzystych; rzuty   odpowiednio na   dane są wzorami[l]
     
przy czym  
  • Niech   będzie zbiorem mierzalnym   np. przedziałem, z funkcją charakterystyczną   Wówczas[l]   jest rzutem ortogonalnym   na podprzestrzeń funkcji o nośniku zawartym w domknięciu  
  • Zamiast wspomnianej wcześniej przestrzeni Hilberta   z operatorem   można rozważać inne: w przypadku przestrzeni ciągów   gdy   gdzie  [m], oraz   to rzut przyjmuje postać  
  • Jeśli z kolei dana jest przestrzeń   jest przestrzenią funkcji o okresie  [n], a   jest funkcją stałą o jednostkowej normie, to rzut ortogonalny   przekształca funkcję   w jej średnią   gdzie
     
Odpowiadający temu rzutowi rozkład ortogonalny,   rozbija funkcję na stałą część średnią   i zmienną część   o zerowej średniej.

UwagiEdytuj

  1. Etymologia w artykule projekcja.
  2. Wystarczy przyjąć   oraz   wtedy
     
    Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania   na   mianowicie  
  3. Niech   będzie wektorem własnym stowarzyszonym z wartością własną   rzutu   Wówczas
     
    a ponieważ   to   czyli   skąd   lub  
  4. Niech   będą bazą   Wówczas zakładając, że   otrzymuje się     zatem dowolny niezerowy wektor w obrazie   jest wektorem własnym z wartością własną   W ten sposób wymiar przestrzeni własnej   dla wartości własnej   jest niemniejszy niż rząd   Z twierdzenia o rzędzie wynika jednak, że   (gdyż  ) dlatego suma wymiarów dwóch podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni   Bazy obrazu i jądra tworzą razem bazę wektorów własnych   tzn.   stąd   jest diagonalizowalny i wymiar przestrzeni własnej   dla wartości własnej   jest równy rzędowi   Ponieważ ślad jest sumą wartości własnych (w ciele charakterystyki 0), to  
  5. Jeśli   gdzie   jest jednokładnością (tj. przekształceniem, którego macierz jest macierzą diagonalną) wyłącznie z wartościami własnymi równymi zeru lub jedynce (na przekątnej głównej), to
     
    gdyż   zatem   a więc   jest idempotentne, czyli jest rzutem.
  6. Z bezpośredniego rachunku wynika, że
     
    czyli  
  7. Wychodząc od samosprzężoności i idempotentności   oraz dowolnych wektorów   otrzymuje się     oraz
     
    gdzie   oznacza iloczyn skalarny przestrzeni   a   to operator tożsamościowy. Stąd   oraz   są ortogonalne. W drugą stronę, z ortogonalności rzutu   wynika jego samosprzężoność, gdyż
     
    dla dowolnych   zatem istotnie  
  8. Dla dowolnego wektora   z nierówności Cauchy’ego–Schwarza jest
     
    czyli   co oznacza, że   jest ograniczony, przy czym norma operatorowa   Jeśli   to istnieje   dla którego   oraz   a więc   Dlatego ostatecznie  
  9. W notacji Diraca jest  
  10. Wtedy   W stosowanej głównie w fizyce notacji Diraca jest   wówczas   W matematyce zwykle zapisuje się   za pomocą iloczynu tensorowego (a dokładnie: iloczynu diadycznego).
  11. Macierz   jest „czynnikiem normującym”, który odzyskuje normę: operator pierwszego rzędu   jest rzutem, tylko gdy   dzieląc przez   otrzymuje się rzut   na podprzestrzeń  
  12. a b Oznaczenia   należy rozumieć jako   gdzie   jest operatorem, którego argumenty i wartości są funkcjami z przestrzeni   tzn.   dla pewnej podprzestrzeni   przestrzeni  
  13. Zob. delta Kroneckera  
  14. Por. grupa okręgu  

BibliografiaEdytuj

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.