Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Ten artykuł dotyczy przestrzeni Hilberta. Zobacz też: twierdzenie o rzucie prostokątnym dotyczące pól powierzchni.

Twierdzenie o rzucie ortogonalnymtwierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Niech będzie przestrzenią Hilberta, zaś będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas

gdzie oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni

DowódEdytuj

Ponieważ   jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa   oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej[a], to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które gwarantuje istnienie jednego i tylko jednego elementu   najlepiej przybliżającego dowolny element   W ten sposób

 

z kolei poniższy lemat zapewnia, że element   tj.   zatem   (przestrzeń   jest generowana przez  ); ponadto jeżeli   to   co zachodzi tylko dla  [b], a zatem   stąd też   jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni   i jej dopełnienia ortogonalnego  

Lemat
Niech   będzie przestrzenią unitarną z normą   indukowaną z iloczynu skalarnego   zaś   będzie zupełną podprzestrzenią liniową w   Wówczas   jest elementem najlepszej aproksymacji w   dla   wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  [c].

UwagiEdytuj

  1. Niech   będzie ciągiem w   wtedy z definicji   skąd   z domkniętości   zatem   jest zupełna.
  2. Z definicji   jest zbiorem tych elementów   które są ortogonalne do każdego elementu zbioru   jeżeli   należy również do   to znaczy, że jest do siebie ortogonalny, tj.   Warunek ten można zapisać w postaci   gdzie   oznacza iloczyn skalarny przestrzeni   co z jego niezdegenerowania ma miejsce wyłącznie dla  
  3. Konieczność. Niech   będzie elementem najlepiej aproksymującym   zaś   Ponieważ dla każdego   tożsamość   pociąga   to można przyjąć   Niech   dla dowolnego skalara   skoro   jest najlepszym przybliżeniem   oraz   to
     
    gdzie   oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej   zaś   to jej sprzężenie zespolone.
    Wybierając   otrzymuje się   skąd   tzn.  
    Dostateczność. Niech   oraz   Ponieważ   jest podprzestrzenią liniową, to   dla dowolnego   co pociąga   dla wszystkich   Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
     
    co oznacza, że   twierdzenie o najlepszej aproksymacji mówi, że w zbiorze   istnieje element najlepiej przybliżający   (przestrzeń   jest wypukła i niepusta jako podprzestrzeń liniowa), tzn.   co oznacza, że to   jest elementem najlepszej aproksymacji dla  

BibliografiaEdytuj