Otwórz menu główne

Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Ten artykuł dotyczy analizy funkcjonalnej. Zobacz też: inne twierdzenia Riesza.

Twierdzenie Rieszatwierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice’a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.

Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym   zaś   będzie przestrzenią sprzężoną do   Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego   istnieje jeden i tylko jeden element   spełniający dla wszystkich   tożsamość

 

Ponadto odwzorowanie   dane wzorem   jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli   określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).

DowódEdytuj

W dalszej części   oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem   dla każdego  

Jeżeli   jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego   dla   wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie   dane wzorem   jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej   jest   ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że   na podstawie izomorfizmu   skonstruowanego niżej.

Istnienie
Dla   wystarczy wziąć   i wtedy   dla każdego   niech więc   wtedy   jest właściwą podprzestrzenią   Ponieważ   jest ciągły, to zbiór   jest domknięty[1][2]. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że
 
a skoro   to   a zatem można znaleźć taki element   dla którego   Ponieważ   to dla każdego   zachodzi
 
gdyż na mocy liniowości funkcjonału   dlatego
 
a stąd
 
aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć   gdzie   oznacza sprzężenie zespolone skalara  
Jednoznaczność
Niech   będą dwoma elementami, które dla każdego   spełniają
 
wówczas, z liniowości,   dla każdego   biorąc   otrzymuje się   co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   czyli  
Izometryczność
Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem   jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że
 
a więc
 
Jeżeli   to   czyli   w przeciwnym przypadku dla   otrzymuje się
 
co daje  
Antyliniowość
Antyliniowość odwzorowania   wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:
 
Jeżeli   jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Z definicji ciągłości (przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte; zatem z dualności analogiczne stwierdzenie dotyczy zbiorów domkniętych) wynika, że   jest domknięty jako przeciwobraz zbioru jednoelementowego (przestrzenie Hilberta są Hausdorffa, które są przestrzeniami  ).
  2. Stwierdzenie to można również dowieść, korzystając z ogólniejszego twierdzenia dla przestrzeni unitarnych i ograniczonych operatorów liniowych (w przestrzeniach Hilberta, które są unitarne, ciągłe operatory liniowe są równoważne ograniczonym). Twierdzenie: Niech   będą przestrzeniami unitarnymi,   będzie ograniczonym operatorem liniowym, zaś   oznacza ciąg elementów   Wówczas   pociąga   a jądro   jest zbiorem domkniętym. Dowód: Pierwsza część twierdzenia wynika z oszacowania   Jeżeli   to (z charakteryzacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych) można wybrać ciąg   elementów   zbieżny do   skoro   i ponieważ   dla wszystkich   to również   co oznacza