Twierdzenie o zbiorze wypukłym

Twierdzenie o zbiorze wypukłym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że każdy niepusty zbiór domknięty i wypukły w przestrzeni Hilberta zawiera jeden i tylko jeden element o najmniejszej normie.

Wynik ten znajduje zastosowanie m.in. w dowodzie twierdzenia o rzucie ortogonalnym mającym swoje implikacje np. w rachunku prawdopodobieństwa (wykorzystywanym w jednym z dowodów istnienia warunkowej wartości oczekiwanej). Twierdzenie o zbiorze wypukłym lub, równoważnie, wynikające z niego twierdzenie najlepszej aproksymacji daje stosunkowo krótki dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym dla dowolnego przekształcenia zwartego zbioru wypukłego $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ w siebie ($n$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią Hilberta).

Dowód

Niech $C$ będzie niepustym, domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta $H,$ zaś $d=\inf _{c\in C}\|c\|$ oznacza infimum norm elementów tego zbioru.

Jednoznaczność

Niech $x,y\in C$ będą dwoma elementami, które spełniają $\|x\|=\|y\|=d;$ z (zachodzącej w $H$) reguły równoległoboku zastosowanej do ${\tfrac {x}{2}},{\tfrac {y}{2}}$ wynika, że

${\tfrac {1}{4}}\|x-y\|^{2}={\tfrac {1}{2}}\|x\|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\|y\|^{2}-{\big \|}{\tfrac {1}{2}}(x+y){\big \|}^{2},$

a ponieważ $C$ jest wypukły, to ${\tfrac {1}{2}}(x+y)\in C,$ czyli

$\|x-y\|^{2}\leqslant 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-4d^{2},$

co oznacza, iż $x=y,$ gdyż prawa strona jest równa zeru.

Istnienie

Z definicji $d$ istnieje ciąg $(y_{n})$ spełniający $\|y_{n}\|\to d;$ z powyższej nierówności wynika inna,

$\|y_{n}-y_{m}\|^{2}\leqslant 2\|y_{n}\|^{2}+2\|y_{m}\|^{2}-4d^{2},$

która pociąga za sobą warunek Cauchy’ego dla ciągu $(y_{n}),$ a z zupełności $H$ jest $y_{n}\to y_{0}$ dla pewnego elementu $y_{0},$ który należy do zbioru $C$ na mocy jego domkniętości (i niepustości); jest on poszukiwanym elementem o minimalnej normie, ponieważ $\|y_{n}\|\to \|y_{0}\|.$

Aproksymacja i rzut

Powyższe twierdzenie można sformułować w nieco inny sposób uzyskując

Twierdzenie o najlepszej aproksymacji

Dla każdego $h\in H$ istnieje jeden i tylko jeden element $a\in C,$ dla którego zachodzi

$\|h-a\|=\mathrm {dist} _{C}\ h,$

gdzie $\mathrm {dist} _{C}\ h=\inf _{c\in C}\|h-c\|$ oznacza odległość elementu $h$ od zbioru $C.$

Element $a$ nazywa się elementem najlepszej aproksymacji dla $h$ (tzn. najlepiej przybliżającym $h$ w sensie odległości). W twierdzeniu o zbiorze wypukłym aproksymowany jest w istocie element $h=0$ (ma on najniższą, zerową normę spośród elementów $H$ i jest to jedyny element o tej normie), wystarczy więc rozpatrzeć translację $C+h$ zbioru $C$ dla dowolnie wybranego elementu $h\in H.$

Jednoznacznie wyznaczony element $a$ nazywa się też rzutem elementu $h$ na (domknięty i wypukły) zbiór $C$ i oznacza $\mathrm {Pr} _{C}\ h$. Jeśli $F\subseteq H$ jest domkniętym podzbiorem $H,$ to $a=\mathrm {Pr} _{F}\ h$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in F$ zachodzi nierówność

$\langle a,x-a\rangle \geqslant \langle h,x-a\rangle .$

Nazwa „rzut” (i oznaczenie $\mathrm {Pr}$) bierze się z tego, że odwzorowanie $\mathrm {Pr} _{C}(\cdot )$ jest odwzorowaniem zwężającym, a stąd ciągłym, a ponadto jest idempotentne na $C,$ tj. $\mathrm {Pr} _{C}\ C=C,$ co oznacza, że odwzorowanie to jest retrakcją.

Bibliografia

• Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 79–80