Metryka Hausdorffa

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a   przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni   Niech   i   będą elementami przestrzeni   a   elementami przestrzeni   przy czym   Wyrażenia:

 
 

oznaczają odpowiednio odstęp punktu   od zbioru   i odstęp punktu   od zbioru   Z kolei wyrażenia:

 
 

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru   od zbioru   i odstęp zbioru   od zbioru  
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję   określoną wzorem[1][2][3]:

 

UwagiEdytuj

  • Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów   i  
  • Gdy   to  
  • Gdy   to  
  • Odstępy   i   mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy   jest podzbiorem właściwym zbioru  
  • Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku  -otoczeń. Dla danego zbioru   i   oznaczamy   kulę o środku   i promieniu   oraz określamy
 
Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:
  oraz  
  • Odwzorowanie   jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni   w przestrzeń   Ponadto zbiór   jest domknięty w   co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.
  • Przestrzeń   z wprowadzoną metryką Hausdorffa   jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy   jest zupełna[1][2][4].
  • Topologia przestrzeni   zależy od topologii przestrzeni   a nie od samej metryki   gdy metrykę   zastąpić przez topologicznie równoważną  ' (obie w  ), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w   będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w  ).
  •   jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią zwartą.
  • Zbiór   jest skończony   jest gęsty w  

PrzykładEdytuj

W przestrzeni   z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte:   oraz   Odpowiednie odległości wynoszą:

 
 
 

UogólnieniaEdytuj

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni   W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni   będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni   ale też od użytej w   metryki  

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

PrzypisyEdytuj

  1. a b Barnsley 1988 ↓, s. 29–42.
  2. a b Engelking 1975 ↓, s. 363–364.
  3. Kudrewicz 2007 ↓, s. 28–30.
  4. Edgar 2008 ↓, s. 71–73.

BibliografiaEdytuj

  • Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.)
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
  • Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
  • Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71–73. (ang.)