Aproksymacja

ujęcie czegoś w sposób niezupełnie ścisły

Aproksymacja (łac. approximare – przybliżać) – polega na budowaniu rozwiązań przybliżających, w pewien określony sposób, ścisłe rozwiązanie jakiegoś problemu, które nie da się przedstawić dokładnie w postaci analitycznej[1]. Najczęściej aproksymację stosuje się do przedstawienia pewnej funkcji w innej, zazwyczaj prostszej postaci umożliwiającej efektywne rozwiązanie postawionego problemu. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład

  • przy obliczaniu całek oznaczonych z funkcji, które nie dają się scałkować ściśle,
  • przy rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, kiedy poszukuje się niewiadomych funkcji,
  • przy opracowywaniu wyników pomiarów znanych tylko na dyskretnym zbiorze punktów (np. w meteorologii).

Aproksymacja może być dokonywana na różne sposoby i dlatego można poszukiwać aproksymacji optymalnej w ściśle określonym sensie.

Sformułowanie uproszczoneEdytuj

Ogólnie rzecz ujmując, aproksymacja polega na przybliżaniu pewnej funkcji   w obszarze   jej określoności, za pomocą innej, prostszej funkcji przybliżającej   określonej w tym samym obszarze, której wartości zależą od pewnej liczby parametrów. Najczęściej jako funkcje   stosuje się wielomiany uogólnione w postaci

 
(a)

w której funkcje   tworzą tzw. bazę aproksymacji

 

zaś   są liczbowymi współrzędnymi funkcji   względem przyjętej bazy. Dobór tych współczynników może się odbywać na różne sposoby, przy czym powinien on być taki, aby błąd aproksymacji był jak najmniejszy.

Jednym z praktycznych sposobów budowania aproksymacji w pewnym sensie optymalnej, jest metoda minimalizacji błędu przybliżenia, określonego iloczynem skalarnym różnicy funkcji  

 
(b)

przy czym ten iloczyn może być definiowany na dwa sposoby[2]:

  lub  
(c)

Minimalizacja tak określonego błędu wymaga, aby

 
(d)

Opisany powyżej sposób aproksymacji funkcji   za pomocą wielomianu   polegał na sformułowaniu i wykorzystaniu konkretnych warunków minimalizacji błędu określonego wzorem (b). Warunki te przybrały postać układu równań (d), w których współczynniki przy niewiadomych   określone zostały funkcjonałami   ze względu na funkcje  

Sformułowanie ogólneEdytuj

Ogólne sformułowanie aproksymacji w przestrzeni liniowej   wymaga określenia warunków, jakie ta aproksymacja ma spełniać. Jeżeli przez   oznaczymy podzbiór   zbioru   będący również przestrzenią liniową, to aproksymacja będzie polegać na tym, aby dla każdego elementu   znaleźć taki element   dla którego zachodzą równości

  dla  

w których   są pewnymi funkcjonałami liniowymi, określającymi warunki dokonywanej aproksymacji.

Zatem zagadnienie aproksymacji wymaga określenia trzech zbiorów:

  • funkcji   funkcji aproksymowanych,
  • funkcji   funkcji aproksymujących,
  • ciągu   funkcjonałów liniowych.

Najczęściej jako   wybiera się zbiór wielomianów uogólnionych o postaci

 

utworzonej z funkcji bazowych   W tym przypadku   staje się n-wymiarową podprzestrzenią  

Poszukiwanie elementu   aproksymującego   polega na zbudowaniu takiego wielomianu  

 
(e)

który spełnia równości

 
(f)

tworzące układ równań służących do określenia współczynników kombinacji liniowej (e).

Jeżeli za   przyjmiemy dowolne funkcje liniowo niezależne, to macierz układu równań najczęściej będzie bardzo pełna. W celu wygenerowania takiego układu równań, który odznaczałby się macierzą rzadką, budujemy aproksymację w   zawężoną do interpolacji[3], w następującej postaci

 
(g)

w której bazę takiej aproksymacji stanowią funkcje   o tej własności, że   Stąd wynika

  oraz  
(h)

Funkcję   otrzymuje się na podstawie kombinacji (e)

 

której współczynniki   są określone równaniami (f), w których funkcja   zostaje zastąpiona przez kolejne funkcje   Funkcje te nazywane są funkcjami bazowymi Lagrange’a.

Przykład 1Edytuj

Funkcję   można aproksymować w przedziale   funkcją liniową przyjmując, że

 

i definiując dwa funkcjonały, na przykład w postaci iloczynów skalarnych

 

Warunki (f) przyjmują postać

 

Dla obliczenia współczynników   otrzymujemy układ równań

 

Przykład 2Edytuj

Aproksymację funkcji   określonej w przedziale   można zastąpić aproksymacją funkcji   w przedziale standardowym   Bazę aproksymacji zbudujemy w postaci uogólnionego wielomianu stopnia  

 

utworzonego z funkcji dowolnych, ale wzajemnie ortogonalnych, spełniających w przedziale standardowym, warunki

  gdy  

Funkcjonał   występujący w (f) przyjmiemy w postaci

 

Mamy również

 

Układ równań (f) redukuje się do najprostszej postaci

 

Funkcjonały   mają przykładowo wartości

  •   gdy funkcje   są wielomianami Legendre’a[2] stopnia  
  •   gdy  
  •   gdy funkcje   są wielomianami Czebyszewa[2] stopnia  

Zdefiniowanie najlepszej aproksymacjiEdytuj

  • W przestrzeniach unormowanych

Niech dana będzie przestrzeń liniowa   z normą   i niech   będzie podprzestrzenią liniową   skończonego wymiaru. Zadanie najlepszej aproksymacji polega na znalezieniu takiego   (elementu najlepszej aproksymacji dla danego  ), że zachodzi:

 

Należy przez to rozumieć, że element   jest elementem „najbliższym” do aproksymowanego   spośród wszystkich elementów  

Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne, tzn. dla każdego   istnieje element najlepszej aproksymacji   ale niekoniecznie jest on jedyny. Należy zauważyć, że element najlepszej aproksymacji zależy od normy, jaka została przyjęta w przestrzeni  

  • W przestrzeniach unitarnych

Niech   będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym   i niech norma w   będzie generowana tym iloczynem:  

Wtedy dla danego   element najlepszej aproksymacji   jest jedyny i jest określony następująco:

 

Zagadnienia aproksymacji funkcjiEdytuj

Aproksymację stosuje się w sytuacjach, gdy nie istnieje analityczna postać funkcji, która pozwalałaby na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Z przypadkiem takim mamy do czynienia np. w meteorologii przy sporządzaniu map synoptycznych na podstawie wyników pomiarów terenowych.

Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych[4]. Od funkcji aproksymującej, przybliżającej daną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty, tak jak to ma miejsce w interpolacji. Z matematycznego punktu widzenia aproksymacja funkcji   w pewnej przestrzeni Hilberta   jest zagadnieniem polegającym na poszukiwaniu pewnej funkcji   gdzie   jest podprzestrzenią   takiej, by odległość (w sensie obowiązującej w   normy) między   a   była jak najmniejsza.

Aproksymacja funkcji powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji[5]. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być wielomianem wysokiego stopnia (w ogóle nie musi być wielomianem). Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Prawdopodobnie najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby błąd średni.

Istnieje wiele metod aproksymacyjnych. Jednymi z najbardziej popularnych są: aproksymacja średniokwadratowa i aproksymacja jednostajna oraz aproksymacja liniowa, gdzie funkcją bazową jest funkcja liniowa.

Funkcja aproksymująca może być przedstawiona w różnej postaci. Najczęściej jest to postać:

Aproksymację można formułować również przy rozwiązywaniu zagadnień dwu- i trójwymiarowych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, cz. 2, PWN, Warszawa 1965.
  2. a b c J. Legras, Praktyczne metody analizy numerycznej, WNT, Warszawa 1974.
  3. M.J. Ciałkowski, K. Magnucki, Zarys metody elementów skończonych, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1982.
  4. Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 74.
  5. Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓, s. 73.

BibliografiaEdytuj