Otwórz menu główne

Aproksymacja liniowa

Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt

Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowaEdytuj

Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru TayloraEdytuj

Dla danej funkcji różniczkowalnej   jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla   można napisać:

 

gdzie   jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:

 

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

 

i przybliżenie to jest tym lepsze, im   jest bliższe   Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji   w punkcie o współrzędnych  

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli   jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:

 

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji   w punkcie o współrzędnych  

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

 

gdzie   jest pochodną Frecheta funkcji   dla  

PrzykładEdytuj

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości  

  1. Rozważana jest funkcja   Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji  
  2. Jest
     
  3. Korzystając z aproksymacji liniowej:
     
  4. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…