Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:

Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu[a] w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych. Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta[1]. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku[2][3].

UwagiEdytuj

  1. ↑ Choć twierdzenie Brouwera zostało sformułowane dla kuli n-wymiarowej, dowodzi się je w również przypadku sympleksu.

PrzypisyEdytuj

  1. ↑ L.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180.
  2. ↑ P. Bohl, Ueber die Beweging eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage, „J. Reine Angew. Math.”, 127 (1904), s. 179–276.
  3. ↑ H. Poincaré, Sur les courbes definies par les équations différentielles, „J. de Math.”, 2 (1886).

Linki zewnętrzneEdytuj

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Twierdzenie_Brouwera_o_punkcie_stałym&oldid=56968790”