Otwórz menu główne

Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) z wektorem (wierszowym) tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.

Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.

Spis treści

Definicja ogólnaEdytuj

Jeżeli dane są:

(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej  

(2) odpowiadająca jej baza   wektorów wierszowych

(3) wektory   zapisane w tych bazach

   

to iloczyn diadyczny   ma postać

 

gdzie  macierz wymiaru   której element   a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.

Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy   np.

 

Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznegoEdytuj

Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie

Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu

 

Przykład: Niech będą dane wektory

   

Ich iloczyn diadyczny wynosi

 

oraz ślad macierzy wynosi

 

– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów   gdyż

 

Nieprzemienność iloczynu diadycznegoEdytuj

Przykład: Niech będą dane wektory

   

Ich iloczyn diadyczny   wynosi

 

Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny

 

Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.