Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni i traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni HilbertaEdytuj

Iloczynem tensorowym   przestrzeni Hilberta   i   nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:

(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów

 

gdzie:

  i  bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni   i  
 Iloczyn Kroneckera wektorów baz   i  

(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:

jeżeli   i   są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio,   i   to iloczyn skalarny w przestrzeni   definiuje wzór

 

gdzie:

 

Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych   typ iloczynu wynika z kontekstu:

  • przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej;
  • iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią unitarną.

WłasnościEdytuj

(1) Iloczyn tensorowy   jest przestrzenią Hilberta   o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni   i  

(2) W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego wektorów składowych   takich że   i   ale które są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj.   Przykłady takich wektorów podano w Przykładzie 2.

Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowychEdytuj

Rozważmy dwie przestrzenie Hilberta (w przedstawionych przykładach do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca):

  z bazą  
  z bazą  

Iloczyn tensorowy   tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta   o wymiarze równym   przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni   przez wektory bazowe przestrzeni  

 

Jeżeli wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako ortonormalne kety

   

oraz

   

wówczas ich iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) to:

 
 
 
 

Widać, że iloczyny tensorowe ketów   i   (tj. wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych) tworzą kety o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta   Iloczyny tensorowe wektorów bra bazy (reprezentowane przez wektory wierszowe) utworzyłyby oczywiście wektory bra o 4 współrzędnych. Gdyby natomiast wektory bazy przestrzeni   zapisać w postaci wektorów ket (kolumnowych), a wektory bazy przestrzeni   w postaci wektorów bra (wierszowych), to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni   miałby postać macierzy 2 × 2. Jeżeli np. wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako kety:

   

oraz bra

   

wtedy otrzymamy iloczyny diadyczne (zwane również iloczynami zewnętrznymi):

 
 
 
 

Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.

Przykład 2: Stan splątany 2 cząstekEdytuj

Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisane stanami:

 
 

Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta   i   ponieważ dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:

 

czyli (pomijając symbol iloczynu tensorowego po prawej stronie równania):

 

Jednak najbardziej ogólny stan powyższych cząstek zwany stanem splątanym, nie da się sprowadzić do powyższego iloczynu tensorowego. Ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.

 

gdzie:

  lub   lub   lub   zachowując jednak warunek normalizacji tj.  

Na przykład dla stanów stanowiących równomierną superpozycję standardowych wektorów bazowych (stany takie można otrzymać za pomocą unitarnej transformacji Hadamarda):

   

iloczyn tensorowy ma postać:

 

natomiast stan splątany może mieć dowolne (znormalizowane) współczynniki, np.:

 

(gdzie  ). W sensie matematycznym stany kwantowe stanowią surjektywną izometrię wektorów bazowych; stan kwantowy może nie zawierać wszystkich wektorów bazowych, jednak musi być znormalizowany. Cztery poniższe stany splątane zwane „stanami Bell’a” tworzą na przykład maksymalnie splątaną bazę czterowymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch kubitów:

 
 
 
 

Stany splątane należą do iloczynu tensorowego   przestrzeni Hilberta   i   jednak nie da się ich otrzymać poprzez tensorowe mnożenie stanu należącego do przestrzeni   i stanu należącego do przestrzeni   Stany splątane są więc stanami szczególnymi. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w komputerach kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.

Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnegoEdytuj

Jeżeli dane są dwa stany   i   należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta   i   takie że

 
 

to ich iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):

 

Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta   lub   tj.:

 

Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L²Edytuj

Jeżeli   i  miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

 

na przestrzeń

 

że   Symbol   oznacza miarę produktową miar   i  

W przypadku, gdy zbiór   jest dowolnym zbiorem oraz   jest miarą liczącą na   to

 

Jeżeli zbiór   jest nieprzeliczalny, to miara   nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów   lub   jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

 

jest izometryczny z przestrzenią

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47–49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.)
  • Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 978-0-521-56128-0. (ang.)
  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 978-0-12-585050-6. (ang.)
  • Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.