Iloczyn Kroneckera

Iloczynem Kroneckera (iloczynem tensorowym) macierzy i macierzy nazywa się macierz o wymiarze postaci

W szczególności można mnożyć tensorowo dwa wektory kolumnowe, dwa wektory wierszowe oraz wektor kolumnowy i wierszowy (np. iloczyn diadyczny).

Z definicji wynika, że mnożone macierze i mogą być dowolnych rozmiarów. (Zwykły iloczyn macierzy jest bardziej restrykcyjny, gdyż liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy.)

Nazwa iloczynu pochodzi od Leopolda Kroneckera, chociaż już przed nim, w 1858 r., tę operację na macierzach opisał Johann Georg Zehfuss.

Iloczyn tensorowy wektorówEdytuj

Z definicji iloczynu tensorowego wynika w szczególności, że iloczyny tensorowe wektorów mają różny wynik w zależności od rodzaju mnożonych wektorów.

(1) Iloczyn tensorowy wektorów kolumnowych daje wektor kolumnowy

 

(2) Iloczyn tensorowy wektorów wierszowych daje wektor wierszowy

 

(3) Iloczyn tensorowy wektora kolumnowego przez wektor wierszowy daje macierz

 

(4) Iloczyn tensorowy wektora wierszowego przez wektor kolumnowy daje macierz

 

Iloczyn tensorowy macierzyEdytuj

Iloczyn tensorowy dwóch macierzy daje macierz, np.

 

Własności iloczynu tensorowegoEdytuj

NieprzemiennośćEdytuj

Iloczyn tensorowy macierzy jest zazwyczaj nieprzemienny, podobnie jak zwykły iloczyn macierzy, tj.

 

Mnożenie mieszane (tensorowo-zwykłe)Edytuj

Jeśli macierze   są takie, że zwykłe iloczyny macierzy  i   istnieją, to iloczyn zwykły dwóch iloczynów tensorowych jest równy iloczynowi tensorowemu odpowiednich iloczynów zwykłych macierzy, w ten sposób że:

 

Odwrotność iloczynu tensorowegoEdytuj

Jeśli macierze  odwracalne, to:

  • odwracalna jest macierz   oraz
  • odwrotność macierzy   jest równa iloczynowi tensorowemu odwrotności macierzy   przez odwrotność macierzy   tj.
 

Rozdzielność względem dodawaniaEdytuj

Zachodzi rozdzielność mnożenia tensorowego macierzy przez sumę macierzy   (przy czym zakłada się, że macierze   są tych samych wymiarów), tj.

 
 

Transpozycja iloczynu tensorowegoEdytuj

Transpozycja iloczynu tensorowego macierzy jest równa iloczynowi tensorowemu transpozycji tych macierzy, tj.

 

Iloczyn tensorowy macierzy kwadratowychEdytuj

Wyznacznik, rząd, śladEdytuj

Jeśli macierze   są macierzami kwadratowymi wymiarów odpowiednio m i n, to

wyznacznik (det), rząd (rz) oraz ślad (tr) macierzy będącej iloczynem tensorowym wyrażają się przez iloczyny wyznaczników, śladów i rzędów mnożonych tensorowo macierzy   wg wzorów:

 
 
 

Wartości własneEdytuj

Niech   oraz   są zbiorami wszystkich wartości własnych odpowiednio macierzy   oraz   Wtedy zbiór wszystkich wartości własnych iloczynu tensorowego   tworzą iloczyny wartości własnych   tj.

 

Wzór ogólny na współczynniki macierzy Edytuj

Niech   oraz   Wtedy współczynniki macierzy będącej iloczynem Kroneckera dane są wzorem

 

gdzie div oznacza dzielenie całkowitoliczbowe.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj