Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych oraz (nad tym samym ciałem) – przestrzeń liniowa, której bazę tworzą wszystkie wektory bazy przestrzeni mnożone tensorowo przez wszystkie wektory bazy przestrzeni

Iloczyn tensorowy ma więc wymiar równy iloczynowi wymiarów mnożonych przestrzeni. Iloczyn tensorowy różni się np. od sumy prostej przestrzeni liniowych, której wymiar jest sumą wymiarów dodawanych do siebie przestrzeni.

Pojęcie iloczynu tensorowego można uogólnić na inne obiekty matematyczne, takie jak macierze, tensory, algebry, przestrzenie liniowo-topologiczne, moduły.

Definicja iloczynu tensorowego dwóch przestrzeni liniowychEdytuj

Jeżeli

  •   i   – przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem,
  •  baza w przestrzeni  
  •   – baza w przestrzeni  

to iloczynem tensorowym   przestrzeni liniowych   i   nazywa się przestrzeń liniową, której bazę stanowią iloczyny tensorowe wektorów bazowych mnożonych przestrzeni, tj. bazą jest zbiór

 

Wymiar iloczynu tensorowegoEdytuj

Z definicji wynika, że wymiar iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych jest równy iloczynowi wymiarów mnożonych tensorowo przestrzeni, tj.

 

UwagiEdytuj

(1) Każda przestrzeń liniowa jest modułem wolnym nad ciałem, a więc iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego modułów.

(2) W przypadku przestrzeni rzeczywistych   oraz   gdzie   i  liczbami naturalnymi, ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią rzeczywistą wymiaru   tj.

 

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowychEdytuj

(1) Iloczynem tensorowym przestrzeni   nazywa się iloczyn tensorowy przestrzeni   przez przestrzeń   dla   tj.

 

Powyższa definicja jest definicją indukcyjną.

(2) W szczególności dla trzech przestrzeni   ich iloczyn tensorowy jest równy iloczynowi tensorowemu przestrzeni   przez przestrzeń   tj.

 

(3) Iloczyn tensorowy przestrzeni   z nią samą n-krotnie mnożoną oznacza się skrótowo symbolem   tj.

 

Przykład: Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych 2-wymiarowychEdytuj

(1) Niech będą dane dwie przestrzenie liniowe:

  z bazą  
  z bazą  

Iloczyn tensorowy   tych przestrzeni jest przestrzenią liniową o wymiarze równym   przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni   przez wektory bazowe przestrzeni   tj.

 

(2) Iloczyny tensorowe wektorów bazy można przedstawić w postaci wektorów kolumnowych – aby pokazać to, wybierzmy reprezentację wektorów bazy w postaci wektorów kolumnowych:

   

oraz

 

Obliczając iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera), otrzyma się:

 
 
 
 

Iloczyny tensorowe wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych tworzą więc wektory kolumnowe o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i są wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni liniowej  

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.