Moduł wolny generowany przez zbiór

R-moduł wolny generowany przez zbiór $X$ albo suma prosta R nad X – zbiór funkcji $f\colon X\to R$ w pierścień $R,$ które przyjmują niezerową wartość tylko dla skończonej liczby swoich argumentów. Oznacza się go zwykle $\bigoplus _{X}R,$ $\bigsqcup _{X}R$ lub $F(X).$ Wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo tworzy moduł nad $R.$

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem, a $X$ – dowolnym zbiorem. Rozpatrzmy funkcje postaci $f\colon X\to R.$ Nośnikiem $f$ nazwiemy zbiór

$\mathrm {supp} f:=\{x\in X;\ f(x)\neq 0\}.$

Zbiór funkcji $f\colon X\to R$ o skończonym nośniku nazywamy $R$-modułem wolnym generowanym przez $X$ albo sumą prostą $R$ nad $X$ i oznaczamy $\bigoplus _{X}R,$ $\bigsqcup _{X}R$ lub $F(X).$ Zbiór $\bigoplus _{X}R$ tworzy moduł nad $R$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

Baza i przedstawienie

Dowolną funkcję $f\in \bigoplus _{X}R$ możemy jednoznacznie przedstawić w postaci

$f(y)=\sum _{x\in X}f(x)\delta _{x}(y)$

dla każdego $y\in X,$ gdzie $\delta _{x}\colon X\to R$ jest zdefiniowane wzorem

$\delta _{x}(y):={\begin{cases}1&\mathrm {gdy} \ y=x\\0&\mathrm {gdy} \ y\neq x.\end{cases}}$

Wynika z tego, że funkcje $\delta _{x}$ rozpinają moduł $\bigoplus _{X}R.$ Funkcje $\delta _{x}$ bardzo często utożsamia się z $x$ i zapisuje po prostu jako $x.$ Wówczas funkcję $f$ można zapisać jako

$f=\sum _{x\in X}f(x)x\quad \mathrm {lub} \quad f=\sum _{x\in X}f_{x}x.$

Zobacz też

• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Bibliografia

• Z. Opial: Algebra Wyższa. PWN, 1970. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Clifford algebra, geometric algebra, and applications