Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Przestrzeń ilorazowa – przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja formalna

Zobacz też: Zbiór ilorazowy.

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ zaś $N$ podprzestrzenią $V.$ Zdefiniujmy na $V$ relację równoważności $\sim$ taką, że $x\sim y\iff x-y\in N,$ czyli $x$ jest w relacji z $y$ wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z $N.$ Klasa równoważności $x$ tzn. zbiór

[x]:=\{y\in V;\ y\sim x\}

jest często oznaczana przez

[x]=x+N,

ponieważ jest równa

[x]=\{x+n\mid n\in N\}.

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni $N$ wyznaczonymi przez wektor $x.$

Przestrzeń ilorazowa $V/N$ jest wówczas zdefiniowana jako $V/_{\sim }:=\{[x];\ x\in V\},$ czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad $V.$ Iloczyn skalara przez wektor oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane jako

$\alpha [x]:=[\alpha x]$ dla każdego $\alpha \in K,$
$[x]+[y]:=[x+y].$

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają $V/N$ w przestrzeń liniową nad $K.$

Przykład

Rozpatrzmy przestrzeń wektorową $\mathbb {R} ^{n}.$ Niech $m\leqslant n,$ i niech $\mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}$ oznacza podprzestrzeń rozpinaną przez pierwsze $m$ wektorów bazy kanonicznej $\mathbb {R} ^{n}.$ Do $\mathbb {R} ^{m}$ należą ciągi z $\mathbb {R} ^{n},$ które są równe 0 na $n-m$ ostatnich współrzędnych. Zdefiniujmy relację równoważności $\sim$ jako

x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {R} ^{m}.

Wynika z tego, że dwa wektory z $\mathbb {R} ^{n}$ są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich $n-m$ współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n}/_{\sim }$ jest izomorficzna z $\mathbb {R} ^{n-m}$ w oczywisty sposób.

Własności

Jeżeli $V$ daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni $U$ i $W{:}$

V=U\oplus W,

to przestrzeń ilorazowa $V/U$ jest naturalnie izomorficzna z $W.$

Jeżeli $U$ jest podprzestrzenią $V,$ to kowymiar przestrzeni $U$ w $V$ jest zdefiniowany jako wymiar $V/U.$ Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów $V$ oraz $U{:}$

\operatorname {codim} U=\dim V/U=\dim V-\dim U.

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z $V$ na przestrzeń ilorazową $V/U$ dany jako przesłanie elementu $x$ na jego klasę równoważności $[x].$ Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń $U.$

Niech $T\colon V\to W$ będzie przekształceniem liniowym. Jądrem $T,$ oznaczanym przez $\ker T$ jest zbiór wszystkich $x\in V$ takich, że $Tx=0.$ Jądro jest podprzestrzenią $V.$ Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa $V/\ker T$ jest izomorficzna z obrazem $V$ w $W.$ Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar $V$ jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych $T\colon V\to W$ jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa $W/\operatorname {im} \;T,$ zaś $V/\ker T\simeq \operatorname {im} T.$

Jeżeli $T$ będzie dane tak, aby $W\subseteq \ker T,$ zaś $R\colon V\to V/W$ będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe $S\colon V/W\to W,$ że $S\circ R=T.$ Ponadto jeśli:

$S$ jest epimorfizmem, to $T$ również jest epimorfizmem,
$W=\ker T,$ to $S$ jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha, a $M$ domkniętą podprzestrzenią $X,$ to iloraz $X/M$ również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na $X/M$ wzorem

\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.

Przestrzeń ilorazowa $X/M$ jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady

Niech $C[0,1]$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale $[0,1],$ zaś $M$ oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji $f\in C[0,1]$ takich, że $f(0)=0.$ Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji $g$ jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa $C[0,1]/M$ jest izomorficzna z $\mathbb {R} .$

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa $X/M$ jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym $M.$