Otwórz menu główne

Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Przestrzeń ilorazowaprzestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   zaś   podprzestrzenią   Zdefiniujmy na   relację równoważności   taką, że   czyli   jest w relacji z   wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z   Klasa równoważności   jest często oznaczana przez

 

ponieważ jest dana jako

 

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni   wyznaczonymi przez wektor  

Przestrzeń ilorazowa   jest wówczas zdefiniowana jako   czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad   Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

  •   dla każdego  
  •  

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają   w przestrzeń liniową nad  

Przykłady i własnościEdytuj

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni   Niech   zaś   podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze   wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory   są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich   współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa   jest izomorficzna z   w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli   daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni   i  

 

to przestrzeń ilorazowa   jest naturalnie izomorficzna z  

Jeżeli   jest podprzestrzenią   to kowymiar przestrzeni   w   jest zdefiniowany jako wymiar   Jeżeli   jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów   oraz  

 

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z   na przestrzeń ilorazową   dany jako przesłanie elementu   na jego klasę równoważności   Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń  

Niech   będzie przekształceniem liniowym. Jądrem   oznaczanym przez   jest zbiór wszystkich   takich, że   Jądro jest podprzestrzenią   Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa   jest izomorficzna z obrazem   w   Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar   jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych   jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa   zaś  

Jeżeli   będzie dane tak, aby   zaś   będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe   że   Ponadto jeśli:

  •   jest epimorfizmem, to   również jest epimorfizmem,
  •   to   jest monomorfizmem.

Przestrzenie BanachaEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią Banacha, a   domkniętą podprzestrzenią   to iloraz   również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na   wzorem

 

Przestrzeń ilorazowa   jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

PrzykładyEdytuj

Niech   oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale   zaś   oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji   takich, że   Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji   jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa   jest izomorficzna z  

Jeżeli   jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa   jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym  

Zobacz teżEdytuj