Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych określonych na przestrzeniach Hilberta nazywa się operator taki że[1]:

  • dziedziną operatora jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.
    (ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta tj. to dziedziną operatora jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni)
  • wynik działania operatora na wektor iloczyn tensorowy wektorów należący do dziedziny operatora jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów tj.
    czyli

Iloczyn tensorowy operatorów samosprzężonychEdytuj

Twierdzenie:

Jeżeli

(1)     są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach  

(2)  operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach   oraz

  •   jest zbiorem wartości własnych operatora  
  •   jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora  

(3) Operator   gdzie

  – iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

zadany jest wzorem

 

(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)

to słuszne są następujące własności:

(1) operator   jest również operatorem samosprzężonym

(2) Wartościami własnymi operatora   są liczby

 

(3) dla wszystkich     słuszne są równości

 

(4) norma operatora   jest iloczynem norm poszczególnych operatorów   gdyż:

 

Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonychEdytuj

Jeżeli

  •   są przestrzeniami Hilberta
  •  operatorami ograniczonymi na   gdzie  

to istnieje dokładnie jeden taki operator ograniczony   na

 

że

 

dla wszystkich   Ponadto

 

Operator   nazywany jest iloczynem tensorowym operatorów   i oznaczany symbolem

 

Definicja n-tej potęgi tensorowej operatoraEdytuj

Jeżeli   oraz   to używa się zapisu

 

Operator   nazywany jest n-tą potęgą tensorową operatora  [2]

WłasnościEdytuj

Dla przestrzeniami Hilberta   oraz liniowych operatorów ograniczonych     określonych na przestrzeniach Hilberta   gdzie   niech

 

Wówczas:

  • Odwzorowanie   jest n-liniowe.
  •  
  •  
  • Jeżeli dla każdego   operator odwrotny do   istnieje i jest ograniczony to operator odwrotny do operatora   jest również ograniczony.

Ponadto

 
  • Jeśli   jest samosprzężony, unitarny lub normalny dla każdego   to operator   również.
  • Operator   jest dodatni jeśli dla każdego   operator   jest dodatni.
  • Jeśli   (zob. notacja Diraca), gdzie   dla każdego   wówczas
 [3]
  • Jeżeli   i   są operatorami ograniczonymi na przestrzeniach Hilberta, których widmami są odpowiednio zbiory   i   to widmem iloczynu tensorowego   jest zbiór
 [4].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 97–98. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  2. Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 98–99. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  3. Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 99. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  4. Arlen Brown, Carl Pearcy. Spectra of tensor products of operators. „Proceedings of the American Mathematical Society”. 17, s. 162, 1966.