Miara produktowa

Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich $\sigma$-algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie

Niech $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ oraz $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ oznacza $\sigma$-algebrę w zbiorze $X_{1}\times X_{2},$ generowaną przez zbiory postaci $B_{1}\times B_{2},$ gdzie $B_{1}\in {\mathcal {A}}_{1}$ oraz $B_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}.$ Jeżeli miary $\mu _{1},\mu _{2}$ są $\sigma$-skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2},$ nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem $\mu _{1}\times \mu _{2},$ o tej własności, że

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\cdot \mu _{2}(B_{2})$

dla dowolnych $B_{i}\in {\mathcal {A}}_{i},$ gdzie $i=1,2.$ Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech $E\in {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}.$ Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru $E$ wzdłuż $x\in X_{1}$ bądź $y\in X_{2}$ nazywa się zbiory:

$E_{x}=\{y\in X_{2}\colon (x,y)\in E\},$

$E^{y}=\{x\in X_{1}\colon (x,y)\in E\}.$

Funkcje:

$X_{1}\ni x_{1}\mapsto \mu _{2}(E_{x_{1}}),$

$X_{2}\ni x_{2}\mapsto \mu _{1}(E^{x_{2}})$

są mierzalne (względem odpowiednio ${\mathcal {A}}_{1}$ i ${\mathcal {A}}_{2}$) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\;\operatorname {d} \mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\;\operatorname {d} \mu _{1}(x).$

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar $\mu _{1},\mu _{2}$ nie jest $\sigma$-skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych $\{\mu _{t}\colon \,t\in T\}$ określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych $(\Omega _{t},{\mathcal {A}}_{t}),\,t\in T.$ Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara $\mu$ określona na $\sigma$-ciele produktowym

$\bigotimes _{t\in T}{\mathcal {A}}_{t}$

o tej własności, że

$\mu (\prod _{t\in T}A_{t})=\prod _{t\in T}\mu _{t}(A_{t}),$

dla dowolnej rodziny $\{A_{t}\colon A_{t}\subseteq \Omega _{t},\,t\in T\}$ o własności, że tylko skończona liczba zbiorów $A_{t}$ jest różna od $\Omega _{t}.$ Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora

Niech $\mu$ będzie miarą w zbiorze $\{0,1\},$ która zbiorom $\{0\}$ i $\{1\}$ przyporządkowuje wartość ${\tfrac {1}{2}}.$ Jeżeli $\kappa$ jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora $\{0,1\}^{\kappa }$ może być uzyskana jako miara produktowa $\kappa$ kopii miary $\mu .$

Zobacz też

• twierdzenie Fubiniego
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• 8.2. Product measures and iterated integrals. W: Michel Loève: Probability Theory vol. I. Wyd. IV. Springer, 1977, s. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• 35. Product measures. W: Paul Halmos: Measure theory. Springer, 1974, s. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 140–147.