Otwórz menu główne

Twierdzenie Fubiniego

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że jest funkcją ciągłą. Wówczas

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzeniaEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech   będzie miarą produktową.

  • Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja   jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
(b) jeśli dla   położymy   a dla   określimy   to otrzymane funkcje   i   są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz
 

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

  • Przypuśćmy, że   jest zbiorem mierzalnym (tzn.  ). Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i)  
(ii)  
(iii)  

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

PrzykładyEdytuj

Zastosowanie do obliczenia całki GaussaEdytuj

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

 

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

 

Gdyby było wiadomo, że całka

 

jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy

 

tj. całce

 

Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie

 

Podnosząc   do kwadratu otrzymujemy

 

Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce

 

tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–aa), (aa), (a, –a), (–a, –a)}.

Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji   po dowolnym kole zawartym w kwadracie   nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:

 
 
 

do całek po kołach otrzymujemy nierówność

 

Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:

 

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

 

Funkcja niecałkowalnaEdytuj

Rozważmy całki

  oraz  

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że   Pokażemy, że   a więc także  

Do obliczenia całki

 

użyjemy podstawienia trygonometrycznego   Tak więc

  oraz  

Granice całkowania   dają nam   czyli   a stąd   Zatem

 
 
 
 

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

  oraz  

Zatem

 

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

 

Tak więc

  oraz  

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji   Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,

 

Zobacz teżEdytuj