Otwórz menu główne

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary tzn. dowolny zbiór spełniający Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue’a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue’a).

Spis treści

Miara Lebesgue’aEdytuj

Zobacz też: miara Lebesgue’a.

Podzbiory miary Lebesgue’a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór   prostej   nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue’a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego   istnieje taki ciąg przedziałów   który spełnia

 

oraz

 

gdzie   oznacza przedział otwarty dla   o długości   Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie   wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci   w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem   Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w   są miary zero ( -wymiarowej Lebesgue’a).

PrzykładyEdytuj

Niech dana będzie funkcja mierzalna   (w sensie Lebesgue’a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue’a). Jeżeli   jest mierzalna (w sensie Lebesgue’a), to funkcje   oraz  równe prawie wszędzie, tj.   wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

 

jest miary (Lebesgue’a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg   funkcji mierzalnych   to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do   tzn.   wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

 

ma miarę (Lebesgue’a) zero; dla funkcji   o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

 

jest zaniedbywalny, to o funkcji   mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem):   oraz     oznaczającym odpowiednio równość   oraz   zbieżność   do   oraz skończoność   na zbiorach miary (Lebesgue’a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue’a   można zastąpić dowolną miarą   określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech   będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do   zawiera się w zbiorze typu Gδ należącym do   Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów   które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych   można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów   oraz   z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli   oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś   jest przedziałem otwartym o środku w   i długości   to jako zbiór miary zero można przyjąć

 

jego dopełnienie   jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór   wszystkich liczb Liouville’a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech   konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli   jest podzbiorem miary zero w   to

 

dla prawie wszystkich   i podobnie

 

dla prawie wszystkich   gdzie   oznacza  -wymiarową miarę Lebesgue’a, a   oraz   Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli   oraz   są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym   jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej   to dla dowolnego zbioru mierzalnego   na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

  • zbiór   jest miary   zero;
  • zbiór   jest miary   zero;
  • zbiór   jest miary   zero;

gdzie   oraz  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144–145.
  • John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2–5.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X.