Diagram Cichoniadiagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire’a (tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Nazwę diagramowi nadał brytyjski matematyk Dawid Fremlin[1], dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów „małych”[4].

Definicje formalne edytuj

Niech   będzie ideałem podzbiorów   do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału   następująco:

  •  
    (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?”)
  •  
    (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?”)
  •  
    (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?”)
  •  
    (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?”)

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

  •  
  •  

gdzie „ ” oznacza „istnieje nieskończenie wiele takich   że” oraz „ ” oznacza „dla wszystkich, oprócz skończenie wielu   mamy, że”.

Diagram edytuj

Niech   będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire’a, oraz niech   oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue’a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka „ ” zastępuje znak nierówności „ ”:

                 
       
     
   
                 

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

  oraz
 

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości   i   w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że   (a więc i pozostałe współczynniki są równe  ), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe  

Przypisy edytuj

  1. David H. Fremlin: Cichon’s diagram, „Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie” 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029.
  2. Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X.
  3. Janusz Pawlikowski: Why Solovay real produces Cohen real, „J. Symbolic Logic” 51 (1986), s. 957–968.
  4. Janusz Pawlikowski, Ireneusz Recław: Parametrized Cichoń’s diagram and small sets, „Fundamenta Mathematicae” 147 (1995), s. 135–155.