Diagram Cichonia

Diagram Cichonia – diagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire’a ${\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$ (tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Nazwę diagramowi nadał brytyjski matematyk Dawid Fremlin, dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów „małych”.

Definicje formalne

Niech $I$ będzie ideałem podzbiorów $X,$ do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału $I$ następująco:

• $\mathrm {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}}.$

  (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nienależący do ideału?”)

• $\mathrm {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}.$

  (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?”)

• $\mathrm {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I{\big \}},$

  (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?”)

• $\mathrm {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.$

  (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?”)

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

• ${\mathfrak {b}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},$
• ${\mathfrak {d}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},$

gdzie „$\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }$” oznacza „istnieje nieskończenie wiele takich $n\in {\mathbb {N} },$ że” oraz „$\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }$” oznacza „dla wszystkich, oprócz skończenie wielu $n\in {\mathbb {N} }$ mamy, że”.

Diagram

Niech ${\mathcal {K}}$ będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire’a, oraz niech ${\mathcal {L}}$ oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue’a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka „$\longrightarrow$” zastępuje znak nierówności „$\leqslant$”:

		$\mathrm {cov} ({\mathcal {L}})$	$\longrightarrow$	$\mathrm {non} ({\mathcal {K}})$	$\longrightarrow$	$\mathrm {cof} ({\mathcal {K}})$	$\longrightarrow$	$\mathrm {cof} ({\mathcal {L}})$	$\longrightarrow$	$2^{\aleph _{0}}$
		${\Bigg \uparrow }$		$\uparrow$		$\uparrow$		${\Bigg \uparrow }$
				${\mathfrak {b}}$	$\longrightarrow$	${\mathfrak {d}}$
				$\uparrow$		$\uparrow$
$\aleph _{1}$	$\longrightarrow$	$\mathrm {add} ({\mathcal {L}})$	$\longrightarrow$	$\mathrm {add} ({\mathcal {K}})$	$\longrightarrow$	$\mathrm {cov} ({\mathcal {K}})$	$\longrightarrow$	$\mathrm {non} ({\mathcal {L}})$

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

$\mathrm {add} ({\mathcal {K}})=\min\{\mathrm {cov} ({\mathcal {K}}),{\mathfrak {b}}\}$ oraz

$\mathrm {cof} ({\mathcal {K}})=\max\{\mathrm {non} ({\mathcal {K}}),{\mathfrak {d}}\}.$

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości $\aleph _{1}$ i $\aleph _{2}$ w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że $\mathrm {add} ({\mathcal {L}})=2^{\aleph _{0}}$ (a więc i pozostałe współczynniki są równe $2^{\aleph _{0}}$), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe $\aleph _{1}.$