Aksjomat Martina

Aksjomat Martina – zdanie postulujące pewną własność zbiorów uporządkowanych.

Zdanie to jest używane w teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn. nie można go udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Ponieważ ma wiele ciekawych konsekwencji, jest traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli tego wymaga dowód. W tym sensie pozycja aksjomatu Martina może być porównana do pozycji zajmowanej przez hipotezę continuum (CH).

Historia i znaczenieEdytuj

Około roku 1965 amerykańscy matematycy Robert M. Solovay i Stanley Tennenbaum rozwinęli metodę forsingu, wprowadzając forsing iterowany, aby udowodnić niezależność hipotezy Suslina. W procesie badania ich wyników, Donald A. Martin (również amerykański matematyk) zaproponował aksjomat, który w dużym stopniu odzwierciedlał sedno modelu teorii mnogości skonstruowanego przez Solovaya i Tennenbauma. Aksjomat zaproponowany przez Martina i pewne jego zastosowania były przedstawione w 1970[1], a dowód niesprzeczności tego aksjomatu i sama metoda forsingu iterowanego były opublikowane w 1971[2].

Aksjomat Martina uogólnia hipotezę continuum i w wielu przypadkach pozwala na powtórzenie argumentów stosowanych przy użyciu CH. Najważniejsze zastosowania aksjomatu Martina są związane z jednoczesnym odrzuceniem hipotezy continuum (tzn. założeniem  ) i wtedy jego siła polega na stwierdzeniu, że pomimo tego, iż   to uniwersum teorii mnogości wygląda trochę tak, jakby CH była prawdziwa – to znaczy, nieskończone zbiory o mocy mniejszej niż continuum zachowują się podobnie jak zbiory przeliczalne.

Należy podkreślić, że główne źródło popularności aksjomatu Martina tkwi w możliwości wyeliminowania dość skomplikowanych dowodów niesprzeczności pewnych stwierdzeń przy użyciu forsingu. Ma więc on znaczenie dydaktyczne jako wprowadzenie do metody forsingu[3] oraz praktyczne jako narzędzie dla matematyków nie zaznajomionych z metodą forsingu[4].

DefinicjeEdytuj

Przed sformułowaniem aksjomatu przypomnijmy następujące definicje.

Niech   będzie porządkiem częściowym.

  • Zbiór   jest antyłańcuchem w   wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy   są sprzeczne, tzn.
 
  •   spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów zwany ccc[a], jeśli każdy antyłańcuch w   jest przeliczalny.
  • Zbiór   jest gęsty w   wtedy i tylko wtedy, gdy  
  • Niepusty zbiór   jest filtrem w   wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) jeśli     oraz   to również  
(ii) jeśli   to można znaleźć   taki, że   oraz  

AksjomatEdytuj

Aksjomat Martina to następujące zdanie:

jeśli
  •   jest porządkiem częściowym spełniającym warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc) i
  •   jest rodziną gęstych podzbiorów   oraz
  •   (gdzie   oznacza moc zbioru  ),
to istnieje filtr   który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z   (tzn.  ).

Aksjomat Martina jest tradycyjnie oznaczany przez MA. Należy zauważyć, że CH implikuje MA w formie sformułowanej powyżej (patrz sekcja 5 o aksjomatach forsingowych) i wtedy nie ma wielkiego pożytku z zakładania tego aksjomatu. Dlatego też matematycy często mówiąc aksjomat Martina, myślą MA+¬CH.

KonsekwencjeEdytuj

Załóżmy MA oraz ¬CH. Wówczas następujące stwierdzenia są prawdziwe:

  • Wszystkie współczynniki kardynalne w diagramie Cichonia są równe   W szczególności suma mniej niż continuum wielu podzbiorów prostej, które są miary zero, jest zbiorem miary zero oraz suma mniej niż continuum wielu podzbiorów prostej, które są pierwszej kategorii, jest pierwszej kategorii.
  • Lemat Bootha: Jeśli   jest rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych   z własnością skończonych przekrojów,   oraz   zawiera wszystkie zbiory o dopełnieniu skończonym, to rodzina   ma nieskończony pseudo-przekrój, tzn. istnieje zbiór nieskończony   taki, że dla każdego zbioru   różnica   jest zbiorem skończonym.
  • Jeśli   to każda baza otoczeń punktu   w   jest mocy continuum. (Przypomnijmy, że   jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni  )
  • Dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej     Stąd można wywnioskować, że   jest regularną liczbą kardynalną.
  • Każdy porządek częściowy spełniający ccc ma własność Knastera oraz każda przestrzeń topologiczna, która jest ccc spełnia warunek Knastera.
Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna   jest ccc, jeśli każda rodzina rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów   jest przeliczalna.
  • Produkt dowolnej rodziny przestrzeni topologicznych spełniających ccc spełnia ccc.
  • Jeśli   jest zwartą ccc przestrzenią T2 oraz   jest rodziną jej otwartych gęstych podzbiorów i   to część wspólna   tej rodziny jest niepusta.
  • Istnieją grupy Whiteheada mocy   które nie są wolne[5].

Porównanie: MA a CHEdytuj

Hipoteza continuum jest równoważna ze zdaniem:

CH: Jedyną nieskończoną liczbą kardynalną mniejszą niż continuum jest liczba  

Aksjomat Martina jest słabszą wersją tego zdania; powyższe konsekwencje aksjomatu Martina demonstrują że MA ma formę

MA: Każda nieskończona liczba kardynalna mniejsza niż continuum jest podobna (w pewnym sensie) do liczby  

Ogólny schemat aksjomatów forsingowychEdytuj

Aksjomat Martina był pierwszym aksjomatem forsingowym sformułowanym w teorii mnogości. Gdy jego popularność poza teorią mnogości (np. w topologii czy też w teorii miary) stała się oczywista, specjaliści w teorii forsingu starali się zaproponować społeczności matematycznej szerszą rodzinę aksjomatów opartych na schemacie przedstawionym poniżej.

  • Dla porządku częściowego   i liczby kardynalnej   niech   oznacza następujące zdanie:
jeśli   jest rodziną gęstych podzbiorów   oraz  
to istnieje filtr   który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z   (tzn.  ).
  • Dla klasy   porządków częściowych i liczby kardynalnej     jest zdaniem  

Należy zauważyć, że na mocy klasycznego lematu polskich matematyków Heleny Rasiowej i Romana Sikorskiego,   jest prawdziwe (w ZFC). Nietrudno jest też wykazać, że jeśli   jest porządkiem bezatomowym i separatywnym, to   jest zdaniem fałszywym (w ZFC).

Jeśli CCC oznacza klasę wszystkich porządków częściowych spełniających ccc, to wprowadzony wcześniej aksjomat Martina oznacza   Aksjomat   był uogólniony przez Saharona Szelacha do PFA[6], aksjomatu, który również jest wspomnianej powyżej postaci i także jest niezależny od aksjomatów ZFC. Wśród aksjomatów forsingowych PFA jest drugim co do popularności w matematyce (po MA).

W literaturze matematycznej istnieją pewne rozbieżności, jeśli chodzi o terminologię związaną z aksjomatami forsingowymi. Niektórzy autorzy rezerwują nazwę aksjomat Martina i symbol   dla   a dla pozostałych przypadków używają oznaczenia   Istnieją również pewne niekonsekwencje w formułowaniu definicji i roli liczby   Czasami   jest rozumiany jako   tzn. postulat istnienia filtru przecinającego zadane   zbiorów gęstych.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Od ang. countable chain condition.

PrzypisyEdytuj

  1. Martin, D. A.; Solovay, R.M.: Internal Cohen extensions. „Ann. Math. Logic” 2 (1970), s. 143–178.
  2. Solovay, R.M.; Tennenbaum, S.: Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem. „Ann. of Math.” (2) 94 (1971), s. 201–245.
  3. Kunen, Kenneth: Set theory. An introduction to independence proofs. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85401-0.
  4. Fremlin, David H.: Consequences of Martin’s axiom. „Cambridge Tracts in Mathematics”, 84. Cambridge University Press, Cambridge, 1984. ISBN 0-521-25091-9.
  5. Szelach, Saharon: Infinite abelian groups, Whitehead problem and some constructions. „Israel J. Math.” 18 (1974), s. 243–256.
  6. Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.