Lemat Bootha

Lemat Bootha – zdanie teorii mnogości dotyczące nieskończonych rodzin podzbiorów zbiorów przeliczalnych o pewnych własnościach. Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów teorii mnogości, to znaczy na ich gruncie nie można go ani udowodnić, ani obalić. Jest ono oznaczane symbolami:

${\text{LB}},\;\mathrm {P} ({\mathfrak {c}})$ lub ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {c}}.$

Zdarza się, że ${\text{LB}}$ albo jego zaprzeczenie jest użyteczne w dowodach, dlatego niekiedy jedno z tych zdań przyjmowane jest jako dodatkowy aksjomat. Nazwa zdania pochodzi od nazwiska matematyka Davida Bootha, który dowiódł, że aksjomat Martina pociąga ${\text{LB}}$.

${\text{LB}}{:}$ Niech ${\mathcal {A}}$ będzie rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego $X$ mocy mniejszej niż continuum. Jeśli dla każdej skończonej podrodziny ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ zbiór $\bigcap {\mathcal {B}}$ jest nieskończony (innymi słowy: ${\mathcal {A}}$ generuje filtr nie zawierający zbiorów skończonych), to istnieje zbiór nieskończony $B\subseteq X$ (tzw. pseudoprzekrój rodziny ${\mathcal {A}}$) taki, że $B\subseteq ^{*}A$ (tzn. $B\setminus A$ jest skończony) dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {A}}.$

Zobacz też

• diagram Cichonia
• hipoteza continuum