Otwórz menu główne

Zbiór pierwszej kategorii

Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy że zbiór   jest pierwszej kategorii Baire’a w   (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę   gdzie każdy ze zbiorów   jest nigdziegęsty w   (tzn.  ). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w   będziemy oznaczać przez   (albo po prostu przez   jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub II kategorii).

WłasnościEdytuj

  • Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni   tworzą σ-ideał podzbiorów   Każdy zbiór z   jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ który też jest pierwszej kategorii.
  • Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
  • Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli   są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski   który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn.   wtedy i tylko wtedy, gdy  ).
  • Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej   które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanieEdytuj

  • Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej   jest I kategorii w   W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór  ).
  • Prostą rzeczywistą   można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów,   takich że
  jest zbiorem pierwszej kategorii, a
  jest zbiorem miary zero Lebesgue’a.
Aby podać przykład takich zbiorów   ustalmy numerację   zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych   niech   będzie odcinkiem otwartym o środku w   i długości   Wówczas zbiór   jest miary zero, ale jego dopełnienie   jest pierwszej kategorii.
  • Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
  • Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech   będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka   w zbiór liczb rzeczywistych   Wyposażmy   w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę
 
Wówczas   jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
  nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka  
Banach udowodnił, że zbiór   jest pierwszej kategorii w   czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-MazuraEdytuj

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem   Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi   Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty   a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału   Kiedy gracze dochodzą do   tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych   Na   tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty   a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział  

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy że Gracz B wygrał partię   wtedy i tylko wtedy, gdy  

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór   jest pierwszej kategorii.

Zobacz teżEdytuj