Zbiór borelowski

Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać ze zbiorów otwartych tej przestrzeni (lub równoważnie, ze zbiorów domkniętych) za pomocą przeliczalnych sum, przekrojów bądź dopełnień[1].

Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej.

Nazwa „zbiór borelowski” została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania[2].

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Zbiór borelowski definiuje się jako element należący do najmniejszego σ-ciała przestrzeni   generowanego przez którąś z niżej wymienionych rodzin podzbiorów:

  1. rodzinę podzbiorów otwartych w   (tzn. rodzinę  ),
  2. rodzinę podzbiorów domkniętych w  
  3. rodzinę podzbiorów zwartych w  

Definicje 1. i 2. są równoważne. Definicja 3. nie jest równoważna z poprzednimi: można podać przykłady przestrzeni topologicznych, w których odpowiednie σ-ciała zbiorów są różne (na przykład przestrzeń Baire’a   albo zbiór liczb niewymiernych  ). Definicje te pokrywają się jednak np. w lokalnie zwartych przestrzeniach Lindelöfa, gdzie zbiory domknięte są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, skąd σ-ciało generowane przez zbiory otwarte jest równe σ-ciału generowanemu przez zbiory zwarte. W szczególności pojęcia te są zgodne w lokalnie zwartych ośrodkowych przestrzeniach metrycznych.

W teorii mnogości, w odniesieniu do przestrzeni polskich zwyczajowo przyjmuje się pierwszą definicję, co założono w dalszej części artykułu.

Rodzina wszystkich zbiorów borelowskich na przestrzeni topologicznej   nazywana jest σ-ciałem Borela (σ-ciałem borelowskim) lub σ-algebrą Borela.

Przestrzenią borelowską związaną ze zbiorem borelowskim   nazywa się parę   gdzie   jest σ-ciałem zbioru  

Własności i przykładyEdytuj

Z definicji wynika, że dla dowolnej przestrzeni topologicznej   borelowskimi są zbiory otwarte i domknięte tej przestrzeni, a ponadto ich różnice oraz przeliczalne sumy i iloczyny.

Przykłady:

  • zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej uzyskany jako przeliczalna suma przeliczalnego iloczynu zbiorów otwartych,
  • pojedynczy punkt będący dopełnieniem sumy dwóch zbiorów otwartych np.  
  • rodzina zbiorów borelowskich na prostej jest generowana przez wszystkie przedziały otwarte (równoważnie: domknięte) o końcach wymiernych,
  • rodzina zbiorów borelowskich na płaszczyźnie jest generowana przez wszystkie prostokąty otwarte o wierzchołkach wymiernych (wystarczą prostokąty o bokach równoległych do osi współrzędnych),
  • nie ma naturalnego przykładu podzbioru prostej rzeczywistej, który nie byłby borelowski (intuicyjnie wszystkie zbiory, które można opisać wzorem są borelowskie),
  • istnieją konstrukcje zbiorów korzystające z pewnika wyboru, które dają zbiory nie należące do tej klasy, np. zbiór Vitalego lub zbiór Bernsteina.

Z konstrukcji miary Lebesgue’a podzbiory borelowskie prostej rzeczywistej są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Mają one ponadto własność Baire’a.

Przestrzenie polskieEdytuj

Główny artykuł: Przestrzeń polska.

Podana wyżej definicja zbiorów borelowskich ma ograniczoną użyteczność z tego powodu, że nie podaje ona żadnej informacji o strukturze tych zbiorów. Mówiąc najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory otwarte nie dajemy żadnej wskazówki co do tego, które z podzbiorów przestrzeni należą do tego ciała. Budowę tego σ-ciała możemy opisać krok po kroku, a w przestrzeniach polskich (i ogólniej w przestrzeniach metrycznych) otrzymujemy w ten sposób szczególnie interesujący opis (wynikający z faktu, że każdy zbiór domknięty jest przekrojem przeliczalnie wielu zbiorów otwartych). Opis ten podaje tak zwaną hierarchię zbiorów borelowskich i jest podstawowym pojęciem w opisowej teorii mnogości.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią polską. Przez indukcję po liczbach porządkowych   definiujemy rodziny   podzbiorów przestrzeni  

  •   jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów     jest rodziną wszystkich domkniętych podzbiorów przestrzeni   (a więc elementy   to dopełnienia zbiorów z  ). Ponadto, niech
 
czyli   jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów  
  • Przypuśćmy, że zdefiniowane już zostały rodziny   dla   Niech:
  jest rodziną wszystkich zbiorów postaci
 
gdzie
 
(dla wszystkich  ),
  jest rodziną wszystkich tych zbiorów   że  
 

Zdefiniowane powyżej rodziny zbiorów są czasami nazywane klasami borelowskimi. Jeśli wiadomo, w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to oznacza się je zwykle   (zamiast  ).

WłasnościEdytuj

Niech   będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską i niech wszystkie wspomniane poniżej klasy borelowskie odnoszą się do tej przestrzeni.

  • Dla wszelkich   zachodzą inkluzje:
  oraz  
Każda z tych inkluzji jest właściwa (tzn. nie zachodzi żadna z odpowiednich równości).
  • Rodzina
 
wyczerpuje wszystkie borelowskie podzbiory  
  • Klasy   są zamknięte na sumy przeliczalne i skończone przekroje zbiorów, a klasy   są zamknięte na przekroje przeliczalne i skończone sumy.
  • Każda klasa   jest ciałem podzbiorów  

Borelowskie podzbiory doskonałych przestrzeni polskich są jednymi z obiektów zainteresowań w opisowej teorii mnogości. Poniżej, mówiąc o zbiorach borelowskich, myślimy o borelowskich podzbiorach jakiejkolwiek doskonałej przestrzeni polskiej.

  • Każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski ma doskonały podzbiór, więc też podzbiór homeomorficzny ze zbiorem Cantora. Więc każdy nieskończony zbiór borelowski jest albo przeliczalny, albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum[a].
  • Moc rodziny zbiorów borelowskich wynosi continuum. Tak więc pomimo tego, że trudno jest podać przykład zbioru, który nie jest borelowski, zbiorów nieborelowskich jest „więcej” niż borelowskich.
  • Ciągły różnowartościowy obraz zbioru borelowskiego jest zbiorem borelowskim. W ogólności jednak, ciągły obraz zbioru borelowskiego nie musi być borelowski (zob. zbiór analityczny).
  • Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli   jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna   która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna   jest mierzalna.)
  • Twierdzenie Kuratowskiego mówi, że jeśli   są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii   i   takie że przestrzenie   i  homeomorficzne.

NotacjaEdytuj

Notację   wprowadził John W. Addison w 1959[3].

Z czasem symbolika ta przyjęła się w całej teorii mnogości. Często jednak w topologii oraz w starszych podręcznikach teorii mnogości dla początkowych klas borelowskich używa się tradycyjnej symboliki:

  • elementy klas   są po prostu nazywane odpowiednio zbiorami otwartymi i domkniętymi (nie mają odrębnej symboliki),
  • elementy klasy   są nazywane zbiorami typu Fσ, a elementy klasy  zbiorami typu Gδ,
  • elementy klas   są nazywane odpowiednio zbiorami typu Gδσ i zbiorami typu Fσδ itd.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Nie może być większy, ponieważ doskonałe przestrzenie polskie są mocy continuum.

PrzypisyEdytuj

  1. zbiór borelowski, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  2. Borel, É., Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, Paris: Gauthier-Villars. VIII u. 158 S. (1905).
  3. Addison, John W.: Separation principles in the hierarchy of classical and effective descriptive set theory, Fundamenta Mathematicae XLVI, s. 123–135, 1959. pdf.
    Addison napisał ten artykuł w Warszawie gdy był gościem Instytutu Matematycznego PAN. Dziękuje on Andrzejowi Mostowskiemu (który był profesorem na UW) oraz pisze
    It seems particularly desirable to introduce simple, uniform and easy-to-remember notations for the classes of the various hierarchies. [...] After lengthy discussions here in Warszawa it has been decided to propose   [...]   for the hierarchies built on the class of predicates recursive in C by quantifying over  
    Among the advantages we cite: [...] it is easily extended to hierarchies defined by quantifiers of higher type [...]
    [Tłumaczenie: Wydaje się, że wprowadzenie prostych, jednorodnych i łatwych do zapamiętania oznaczeń dla klas różnych hierchii jest szczególnie pożądane. [...] Po dłuższych dyskusjach tutaj w Warszawie postanowiono zaproponować   [...]   dla hierarchii zbudowanych na klasie predykatów rekurencyjnych w C przez kwantyfikowanie nad  .]