Otwórz menu główne

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa[1] oraz Aleksandra Kechrisa[2]. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego[3], a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego[4].

Spis treści

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskichEdytuj

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire’a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej – każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire’a   Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire’a   (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech   będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory  

Przez indukcję po liczbach porządkowych   definiujemy rodziny     oraz   podzbiorów przestrzeni  

  •   jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów     to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z   (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy   czyli   jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów  
  • Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już   dla   Określamy:
  jest rodziną wszystkich zbiorów postaci   gdzie   (dla wszystkich  ),
  jest rodziną wszystkich zbiorów   takich, że  
 

Elementy rodziny   nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni  .

Rzutowe podzbiory  

Przez indukcję po liczbach naturalnych   klasy   oraz  

  •   jest rodziną tych wszystkich podzbiorów   przestrzeni   że dla pewnego zbioru borelowskiego   mamy  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że dla pewnego   mamy  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że  

Definiujemy również  

Elementy rodziny   nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni  .

Wybrane własności klas punktowychEdytuj

Niech   będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „ ” jest reprezentowane przez strzałkę „ ”):
   
       
     
       
   

   dla wszystkich   oraz

           
             
           
             
           
  • Jeśli przestrzeń   jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
  •   jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni   Jest to σ-ciało podzbiorów  
  • Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
  • Każdy zbiór klasy   jest sumą   zbiorów borelowskich.
  • Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli   są przestrzeniami polskimi oraz   to można wybrać zbiór   zawarty w   i taki, że dla wszystkich  
 

(Powyżej kwantyfikator   oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowychEdytuj

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue’a, własności Baire’a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

  • wszystkie zbiory klasy   mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a,
  • każdy zbiór klasy   jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
  • każdy   podzbiór przestrzeni   nieskończonych podzbiorów   ma własność Ramseya,
  • jeśli wszystkie zbiory klasy   są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy   mają własność Baire’a,
  • jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
  • jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje   podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy   który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[5].

Definiowalne relacje równoważnościEdytuj

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi)[6].

DefinicjeEdytuj

Niech   będą przestrzeniami polskimi.

  • Relacja   na przestrzeni   jest borelowska (analityczna itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym itd.) podzbiorem przestrzeni  
  • Przypuśćmy, że   jest relacją równoważności na   a   jest relacją równoważności na   Powiemy, że relacja   jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkcja borelowska   taka, że
 
W powyższej sytuacji piszemy  
Relacja borelowskiej redukcji   jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli   to mamy „świadka” na nierówność   który może być „podniesiony” do borelowskiego odwzorowanika z   do  
  • Jeśli   oraz   to powiemy, że przestrzenie ilorazowe   i   mają tę samą moc borelowską. Piszemy wówczas  

Podstawowe własnościEdytuj

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu   na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

  wtedy i tylko wtedy, gdy różnica   jest liczbą wymierną.
  •   (tzn,   ale  ).
  • Jeśli   jest relacją równoważności klasy   to
albo   lub  
  • Jeśli   jest borelowską relacją równoważności, to
albo   lub  
  • Dla każdej borelowskiej relacji równoważności   istnieje borelowska relacja równoważności   taka, że  
  • Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element  -największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami  -nieporównywalnych relacji.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Yiannis N Moschovakis: Descriptive set theory. Amsterdam-New York: North-Holland Publishing Co., 1980, seria: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 100. ISBN 0-444-85305-7.
  2. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Monografie Matematyczne, 27.
  4. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
  5. Rozdział 9. W: Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 1995. ISBN 1-56881-044-X.
  6. Alexander S Kechris. New directions in descriptive set theory. „Bull. Symbolic Logic”. 5, s. 161–174, 1999.