Zbiór rzutowy

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej, które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego.

Hierarchia zbiorów rzutowych

Niech ${\mathcal {N}}$ oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in {\mathbb {N} }$ dla każdej przestrzeni polskiej $X$ definiujemy klasy Łuzina $\Sigma _{n}^{1}(X)$ i klasy dualne $\Pi _{n}^{1}(X)$

• $\Sigma _{1}^{1}(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times {\mathcal {N}}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},$
• $\Pi _{1}^{1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in \Sigma _{1}^{1}(X),$
• $\Sigma _{n+1}^{1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego $B\in \Pi _{n}^{1}(X\times {\mathcal {N}})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},$
• $\Pi _{n+1}^{1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in \Sigma _{n+1}^{1}(X).$

Definiujemy również $\Delta _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1}(X)\cap \Pi _{n}^{1}(X).$

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\Sigma _{n}^{1},\Pi _{n}^{1},\Delta _{n}^{1}$ (zamiast $\Sigma _{n}^{1}(X),\Pi _{n}^{1}(X),\Delta _{n}^{1}(X)$). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

• elementy klasy $\Sigma _{1}^{1}$ nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z $\Pi _{1}^{1}$ są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
• klasy $\Sigma _{2}^{1}$ i $\Pi _{2}^{1}$ oznaczane są też przez PCA i CPCA etc.

Przykładowe własności

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np. monografię Yiannisa Moschovakisa lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.

Niech $X$ będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „$\subseteq$” jest reprezentowane przez strzałkę „$\longrightarrow$”):

$\Sigma _{1}^{1}$

$\Sigma _{2}^{1}$

$\ldots$

$\Sigma _{n}^{1}$

$\Sigma _{n+1}^{1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta _{1}^{1}$

$\Delta _{2}^{1}$

$\Delta _{3}^{1}$

$\ldots$

$\Delta _{n}^{1}$

$\Delta _{n+1}^{1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi _{1}^{1}$

$\Pi _{2}^{1}$

$\ldots$

$\Pi _{n}^{1}$

$\Pi _{n+1}^{1}$

$\ldots$

• $\Delta _{1}^{1}$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni $X.$
• Każda klasa Łuzina $\Sigma _{n}^{1}$ jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych $\Pi _{n}^{1}$.
• Każda klasa $\Delta _{n}^{1}$ jest σ-ciałem zbiorów.
• Jeśli $Y$ jest przestrzenią polską, $f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in \Sigma _{n}^{1}(X),$ to $f(A)\in \Sigma _{n}^{1}(Y).$
• Jeśli $Y$ jest przestrzenią polską, $f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $B\in \Sigma _{n}^{1}(Y)$ $(B\in \Pi _{n}^{1}(Y)),$ to także $f^{-1}(B)\in \Sigma _{n}^{1}(Y)$ $(f^{-1}(B)\in \Pi _{n}^{1}(Y)).$
• Wszystkie zbiory z $\Sigma _{1}^{1}\cup \Pi _{1}^{1}$ mają własność Baire’a.
• Wszystkie zbiory z $\Sigma _{1}^{1}({\mathbb {R} })\cup \Pi _{1}^{1}({\mathbb {R} })$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
• Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z $\Sigma _{2}^{1}\cup \Pi _{2}^{1}$ są mierzalne i mają własność Baire’a.
• Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to

(a) istnieje $\Sigma _{2}^{1}$-dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,

(b) istnieje $\Delta _{2}^{1}$-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a,

(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

• Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a.
• Można zbudować pojęcie forsingu, które forsuje, że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy $\Sigma _{3}^{1}$ implikuje, że $\omega _{1}$ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z $\Sigma _{1}^{1}({\mathcal {N}})$ są zdeterminowane. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane.

Zobacz też

• opisowa teoria mnogości
• teoria mnogości
• zbiór analityczny
• zbiór borelowski