Otwórz menu główne

Liczba nieosiągalna

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

DefinicjeEdytuj

  • Liczba porządkowa   jest początkową liczbą porządkową jeśli   nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
  • Dla liczby kardynalnej   określamy:
  jest pierwszą liczbą kardynalną większą od   (jest to tzw. następnik  ),
  jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów  
  • Liczba kardynalna   jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów   takich że   dla wszystkich   oraz   mamy, że  
  • Liczba kardynalna   jest graniczną liczbą kardynalną jeśli   jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej   mamy   Powiemy, że   jest silnie graniczną liczbą kardynalną, jeśli   jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej   mamy  

Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykładyEdytuj

  • Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej   która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby   jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak   ma się do liczb skończonych.
  • Jeśli   jest liczbą nieosiągalną, to  
  • Jeśli   jest liczbą silnie nieosiągalną, to  
  • Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
  • W ZFC, jeśli   jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli   jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to Lκ jest modelem ZFC. Zatem „ZF+ istnieje liczba nieosiągalna” implikuje, że „ZFC jest niesprzeczne”. Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
  • Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i   jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.

Zobacz teżEdytuj