Regularna liczba kardynalna

Regularna liczba kardynalnanieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Definicje

edytuj

Pojęcia wstępne

edytuj
  • Liczba porządkowa   jest początkową liczbą porządkową jeśli   nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
  • Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez  
  • Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to   moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
  • Następnik liczby kardynalnej   to pierwsza liczba kardynalna większa od   (jest on oznaczany przez  ).
  • Kofinalność (albo współkońcowość) nieskończonej liczby kardynalnej   to najmniejsza liczba kardynalna   taka, że każdy zbiór mocy   może być przedstawiony jako suma   wielu zbiorów mocy mniejszej niż  
  dla pewnych zbiorów   o tej własności, że dla wszystkich   zachodzi  
Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się ze współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:
  istnieje rosnący ciąg   taki że   oraz  

Liczby regularne i liczby singularne

edytuj

Niech   będzie liczbą kardynalną.

Jeśli   to mówimy, że   jest liczbą regularną.

Jeśli   to mówimy, że   jest liczbą singularną.

Podstawowe własności

edytuj
  •   są liczbami regularnymi.
  • Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
  •   jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest  
  • Jeśli   jest graniczną liczbą porządkową, to   Zatem dla granicznych     jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy   jest liczbą nieosiągalną.
  • Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:
    • Zachowanie funkcji   dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek   i przez trywialny warunek   Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że   dla wszystkich regularnych   Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że   dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych  
    • Jeszcze nie rozumiemy do końca funkcji   dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
      Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej   jeśli   to  . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję   dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.