Otwórz menu główne

Spis treści

Liczba mierzalnanieprzeliczalna liczba kardynalna na której istnieje -zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna na której istnieje -addytywna miara która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w model wewnętrzny M.

Rys historycznyEdytuj

  • W 1905 Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych   który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia (zbiór Vitalego).
  • Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory   i znikająca na punktach.
  • W 1929 Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje[1].
  • W 1930 Stanisław Ulam[2] wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w   wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

DefinicjeEdytuj

Niech   będzie liczbą kardynalną.

  •  -addytywna miara na   to taka funkcja
 
że
(a)   ale   dla każdego   oraz
(b) jeśli   jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów   oraz   <   to
  jest skończonym podzbiorem  
  • Filtr   podzbiorów zbioru   jest
(i)  -zupełny jeśli przekrój mniej niż   zbiorów z   należy do  
(ii) filtrem głównym jeśli   dla pewnego zbioru  

Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje  -addytywna miara na   Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest liczbą mierzalną jeśli istnieje  -addytywna miara na   o wartościach w {0,1}. Jeśli

 

jest  -addytywną miarą na   to

 

jest  -zupełnym niegłównym ultrafiltrem na   Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje  -zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów   (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Przykładowe własnościEdytuj

  • Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
  • W ZFC każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne” jest niesprzeczna.
  • Zakładając ZF+AD:
    1.   jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
    2.   jest liczbą mierzalną.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory   są zdeterminowane[3].
  • Robert M. Solovay[4] udowodnił, że
(i) Jeśli   jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu   forsuje że
  i   jest rzeczywiście mierzalna.
(ii) Jeśli   jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to   jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.
  • Jeśli   jest liczbą mierzalną oraz   dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej   to również  
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.

PrzypisyEdytuj

  1. Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. „Fundamenta Mathematicae” 14 (1929), s. 127–131.
  2. Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. „Fundamenta Mathematicae” 16 (1930), s. 140–150.
  3. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.
  4. Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397–428.