Liczba mierzalna

Liczba mierzalna – nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ na której istnieje $\kappa$-zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ na której istnieje $\kappa$-addytywna miara, która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory $\kappa .$

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w modelu wewnętrznym M.

Rys historyczny

• W 1905 Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia (zbiór Vitalego).
• Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory $\mathbb {R}$ i znikająca na punktach.
• W 1929 Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje.
• W 1930 Stanisław Ulam wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w $\{0,1\}$ wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

Definicje

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

• $\kappa$-addytywna miara na $\kappa$ to taka funkcja

$\mu :{\mathcal {P}}(\kappa )\longrightarrow [0,1],$

że

(a) $\mu (\kappa )=1,$ ale $\mu (\{x\})=0$ dla każdego $x\in \kappa ,$ oraz

(b) jeśli $\{A_{\alpha }:\alpha <\lambda \}\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )$ jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów $\kappa$ oraz $\lambda$ < $\kappa ,$ to

$\mu \left(\bigcup \limits _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }\right)=\sum \limits _{\alpha <\lambda }\mu (A_{\alpha }):=\sup {\Bigg \{}\sum _{i\in I}\mu (A_{i}):I$ jest skończonym podzbiorem $\lambda {\Bigg \}}.$

• Filtr $F$ podzbiorów zbioru $S$ jest

(i) $\kappa$-zupełny jeśli przekrój mniej niż $\kappa$ zbiorów z $F$ należy do $F,$

(ii) filtrem głównym jeśli $F=\{X\subseteq S:A\subseteq X\}$ dla pewnego zbioru $A\subseteq S.$

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje $\kappa$-addytywna miara na $\kappa .$ Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje $\kappa$-addytywna miara na $\kappa$ o wartościach w {0,1}. Jeśli

$\mu :{\mathcal {P}}(\kappa )\longrightarrow \{0,1\}$

jest $\kappa$-addytywną miarą na $\kappa ,$ to

$U=\{A\subseteq \kappa :\mu (A)=1\}$

jest $\kappa$-zupełnym niegłównym ultrafiltrem na $\kappa .$ Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje $\kappa$-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów $\kappa .$ (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Przykładowe własności

• Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
• W ZFC każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne” jest niesprzeczna.
• Zakładając ZF+AD:
  1. $\aleph _{1}$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
  2. $\aleph _{2}$ jest liczbą mierzalną.
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory ${\mathcal {N}}$ są zdeterminowane.
• Robert M. Solovay udowodnił, że

(i) Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ forsuje że

$2^{\aleph _{0}}=\kappa$ i $\kappa$ jest rzeczywiście mierzalna.

(ii) Jeśli $\kappa$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to $\kappa$ jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.

• Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną oraz $2^{\lambda }=\lambda ^{+}$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\lambda <\kappa ,$ to również $2^{\kappa }=\kappa ^{+}.$
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.