Pojęcie forsingu

Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru $\mathbb {P}$ są nazywane warunkami, a dla $p,q\in \mathbb {P}$ takich że $q\leqslant p$ mówimy, że warunek $q$ jest silniejszy niż warunek $p$. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Szelach i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu.

Związek z zupełnymi algebrami Boole’a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole’a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole’a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $U\subseteq X$ jest regularnie otwarty jeśli $\mathrm {int} (\mathrm {cl} (U))=U$ (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie $\mathrm {RO} (X)$ wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

$U+V=\mathrm {int} (\mathrm {cl} (U\cup V)),$     $U\cdot V=U\cap V$   oraz   $\sim U=X\setminus \mathrm {cl} (U).$

Wówczas $(\mathrm {RO} (X),+,\cdot ,\sim ,\varnothing ,X)$ jest zupełną algebrą Boole’a.

Powiemy, że częściowy porządek $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest separatywny jeśli dla każdych warunków $p,q\in \mathbb {P}$ takich że $q\not \leqslant p$ można znaleźć warunek $r\in \mathbb {P}$ który jest silniejszy niż q (tzn. $r\leqslant q$) oraz sprzeczny z p (tzn. nie ma żadnego warunku $s\in \mathbb {P}$ który by spełniał jednocześnie $s\leqslant p$ oraz $s\leqslant r$).

Przypuśćmy teraz, że $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla $p\in \mathbb {P}$ połóżmy $U_{p}=\{q\in \mathbb {P} :q\leqslant p\}.$ Wówczas rodzina $\{U_{p}:p\in \mathbb {P} \}$ jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze $\mathbb {P} .$ Każdy zbiór $U_{p}$ jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

$p\mapsto U_{p}\colon \mathbb {P} \longrightarrow \mathrm {RO} (\mathbb {P} )$

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry $\mathrm {RO} (\mathbb {P} )$ (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór $\mathbb {P}$ zawiera pewien zbiór $U_{p}$ $(p\in \mathbb {P} )$).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole’a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na $\mathbb {P} .$)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

• Forsing Cohena:

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,

porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli $q\leqslant p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p\trianglelefteq q$);

powyżej, symbol $\trianglelefteq$ oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i $\trianglelefteq \ =\ \subseteq$).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\mathcal {B}}/{\mathcal {K}},$ gdzie ${\mathcal {B}}$ jest $\sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ a ${\mathcal {K}}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in {\mathcal {B}}$ które są pierwszej kategorii.

• Forsing Solovaya:

warunkami są te domknięte podzbiory $\mathbb {R} ,$ które mają dodatnią miarę Lebesgue’a,

porządkiem jest relacja zawierania (tzn. $q\leqslant p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q\subseteq p$).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\mathcal {B}}/{\mathcal {L}},$ gdzie ${\mathcal {B}}$ jest $\sigma$-ciałem borelowskich podzbiorów $\mathbb {R}$ a ${\mathcal {L}}$ jest rodziną tych zbiorów $A\in {\mathcal {B}}$ które są miary zero.

• Forsing Lavera:

warunkami są zbiory $T$ skończonych ciągów liczb naturalnych takie że

(a) $(\forall t\in T)(\forall n)(t{\upharpoonright }n\in T)$ oraz

(b) $(\exists s\in T)(\forall t\in T)([s\subseteq t\ \vee t\subseteq s]\ \wedge \ [s\subseteq t\ \Rightarrow \ \{n\in \mathbb {N} :t^{\frown }\langle n\rangle \in T\}$ jest nieskończony]).

porządkiem jest relacja zawierania (tzn. $T\leqslant S$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T\subseteq S$).

• Forsing Mathiasa:

warunkami są pary $(w,A)$ takie, że $w$ jest skończonym zbiorem liczb naturalych, $A$ jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz $\max(w)<\min(A),$

porządek jest zdefiniowany przez $(w',A')\leqslant (w,A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $w\subseteq w',$ $A'\subseteq A$ oraz $w'\setminus w\subseteq A.$

• Forsing Hechlera:

warunkami są pary $(n,f)$ takie, że $n$ jest liczbą naturalną, a $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ jest funkcją.

porządek jest zdefiniowany przez $(n',f')\leqslant (n,f)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n\leqslant n',$ $f(k)\leqslant f'(k)$ dla każdego $k,$ i $f{\upharpoonright }n=f'{\upharpoonright }n$

• Forsing Sacksa:

warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej $\mathbb {R} ,$

porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

• Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ spełnia $\kappa$-cc jeśli każdy antyłańcuch w $\mathbb {P}$ jest mocy mniejszej niż $\kappa .$ Jeśli $\mathbb {P}$ spełnia $\aleph _{1}$-cc to mówimy wtedy też, że $\mathbb {P}$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo $\mathbb {P}$ spełnia ccc („countable chain condition”)
• Dla liczby kardynalnej κ, powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest $(<\kappa )$-domknięte jeśli każdy łańcuch w $\mathbb {P}$ mocy mniejszej niż $\kappa$ ma ograniczenie dolne.
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal {H}}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $\mathbb {P}$ jest pojęciem forsingu a $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb {P} \in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb {P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb {P} )$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha ${\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in {\mathcal {A}},$ jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek $s\in \mathbb {P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in {\mathcal {H}}(\chi )$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),$ $\mathbb {P} ,x\in N$ oraz $p\in \mathbb {P} \cap N,$

to istnieje warunek $q\leqslant p$ który jest $(N,\mathbb {P} )$-generyczny.

Zobacz też

• aksjomat Martina
• PFA