Otwórz menu główne

Pojęcie forsingupraporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru są nazywane warunkami, a dla takich że mówimy że warunek jest silniejszy niż warunek . Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Szelach i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu[1].

Związek z zupełnymi algebrami Boole’aEdytuj

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole’a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole’a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór   jest regularnie otwarty jeśli   (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie   wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

          oraz    

Wówczas   jest zupełną algebrą Boole’a.

Powiemy, że częściowy porządek   jest separatywny jeśli dla każdych warunków   takich że   można znaleźć warunek   który jest silniejszy niż q (tzn.  ) oraz sprzeczny z p (tzn. nie ma żadnego warunku   który by spełniał jednocześnie   oraz  ).

Przypuśćmy teraz, że   jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla   połóżmy   Wówczas rodzina   jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze   Każdy zbiór   jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

 

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry   (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór   zawiera pewien zbiór    ).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole’a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na  )

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

PrzykładyEdytuj

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,
porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli   wtedy i tylko wtedy, gdy  );
powyżej, symbol   oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i  ).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa   gdzie   jest  -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej   a   jest rodziną wszystkich zbiorów   które są pierwszej kategorii.

warunkami są te domknięte podzbiory   które mają dodatnią miarę Lebesgue’a,
porządkiem jest relacja zawierania (tzn.   wtedy i tylko wtedy, gdy  ).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa   gdzie   jest  -ciałem borelowskich podzbiorów   a   jest rodziną tych zbiorów   które są miary zero.

warunkami są zbiory   skończonych ciągów liczb naturalnych takie że
(a)   oraz
(b)   jest nieskończony]).
porządkiem jest relacja zawierania (tzn.   wtedy i tylko wtedy, gdy  ).
  • Forsing Mathiasa[5]:
warunkamipary   takie, że   jest skończonym zbiorem liczb naturalych,   jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz  
porządek jest zdefiniowany przez   wtedy i tylko wtedy, gdy     oraz  
  • Forsing Hechlera:
warunkamipary   takie, że   jest liczbą naturalną, a   jest funkcją.
porządek jest zdefiniowany przez   wtedy i tylko wtedy, gdy     dla każdego   i  
  • Forsing Sacksa:
warunkamidoskonałe podzbiory prostej rzeczywistej  
porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własnościEdytuj

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

  • Niech   będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu   spełnia  -cc jeśli każdy antyłańcuch w   jest mocy mniejszej niż   Jeśli   spełnia  -cc to mówimy wtedy też że   spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo   spełnia ccc („countable chain condition”)
  • Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu   jest  -domknięte jeśli każdy łańcuch w   mocy mniejszej niż   ma ograniczenie dolne.
  • Niech   będzie regularną liczbą kardynalną a   będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż   Przypuśćmy, że   jest pojęciem forsingu a   jest przeliczalnym elementarnym podmodelem   takim, że   Powiemy, że warunek   jest warunkiem  -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha   który należy do modelu   mamy
dla każdego   jeśli   są niesprzeczne, to  
(Przypomnijmy, że warunki   są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek   silniejszy niż oba te warunki.)
Pojęcie forsingu   jest proper[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej   istnieje   taki, że:
jeśli   jest przeliczalnym elementarnym podmodelem     oraz  
to istnieje warunek   który jest  -generyczny.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise’a. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ​ISBN 0-7204-2285-X​.
  2. Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
  3. Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” (2) 92 1970 s. 1–56.
  4. Laver, Richard: On the consistency of Borel’s conjecture. „Acta Math.” 137 (1976), no. 3-4, s. 151–169.
  5. Mathias, A.R.D.: Happy families. „Ann. Math. Logic” 12 (1977), no. 1, s. 59–111.
  6. Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ​ISBN 3-540-51700-6​.
  7. Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.