Łańcuch (teoria mnogości)

podzbiór porządku, na którym relacja porządkująca jest spójna

Łańcuchy to w teorii częściowych porządków i w teorii mnogości podzbiory porządku, na których relacja porządkująca jest spójna.

DefinicjaEdytuj

Przy określonym częściowym porządku   zbiór   nazywamy łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

 .

Innymi słowy zbiór   jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja   porządkuje go liniowo, czyli jest ona relacją spójną w  .

Intuicyjnie, zbiór jest łańcuchem, gdy da się porównać każde dwa jego elementy.

Przykłady i własnościEdytuj

  • Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też antyłańcuchem).
  • Rozważmy płaszczyznę   z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez
  wtedy i tylko wtedy, gdy   i  .
(Powyżej,   jest standardową nierównością na prostej rzeczywistej  .) Wówczas każda prosta pionowa i każda prosta o nieujemnym współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w  . Także wykres dowolnej funkcji rosnącej jest łańcuchem w tym porządku.
  • Rozważmy zbiór   wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację   wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego   połóżmy  . Wówczas   jest łańcuchem w  . Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze   dla pewnego  .
  • Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek   jest sumą   łańcuchów ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy   nie zawiera   elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów).

Warunki łańcuchaEdytuj

W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech   będzie zbiorem częściowo uporządkowanym.

  • Powiemy że   spełnia warunek rosnących łańcuchów lub ACC (od ang. ascending chain condition) jeśli każdy rosnący łańcuch   jest od pewnego miejsca stały.
  • Podobnie mówimy że   spełnia warunek malejących łańcuchów lub DCC (od ang. descending chain condition) jeśli każdy malejący łańcuch   jest od pewnego miejsca stały.

W teorii forsingu rozważa się własność określaną czasami jako warunek przeliczalnego łańcucha. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest warunek przeliczalnych antyłańcuchów (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa łańcuch było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli   jest zupełną algebrą Boole’a, to każdy antyłańcuch w   jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy w algebrze   nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg   ( ).

Funkcje kardynalneEdytuj

W porządkach skończonych wprowadza się długość porządku (czasami zwaną też wysokością porządku) jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie funkcje kardynalne na algebrach Boole’a, głębokość   i długość   są bezpośrednio związane ze strukturą łańcuchów w rozważanej algebrze. Niech   będzie algebrą Boole’a. Określamy

  jest łańcuchem  
  jest dobrze uporządkowanym łańcuchem  .

Zobacz teżEdytuj